使用主定理方法求解遞歸 T(n) = T(n / 2) - T(n / 6) + O(lg n)？

Question

. 使用主定理方法求解遞歸 T(n) = T(n / 2) - T(n / 6) + O(lg n)？

Answer 1

代入法建議我們猜測解，然后通過歸納證明。

這里我們猜測部分解：T(2^k) = k+1

• 基本情況：T(2^0) = T(1) = 1。
• k>0 的歸納情況： T(2^k) = T(2^(k-1)) + 1 = k-1+1 + 1 = k+1

這給了我們 T(n) = lg(n) + 1 對於 na 2 的冪。為了將其擴展到完整的解決方案，讓 n' 是大於或等於 n 的 2 的最小冪（對於任意 n>0 ）。 然后 T(n) <= T(n') = lg(n') + 1。由於 n' < 2n，我們有 lg(n') < lg(2n) = lg(n) + 1。所以 T( n) < lg(n) + 2。

因此我們證明了 T(n) = O(lg(n))。

Answer 2

它是O(log₂(n)) ：

                    __
T(n)   = T(n/2) + 1   |
T(n/2) = T(n/4) + 1   | 
T(n/4) = T(n/8) + 1   |-- k operations
...                   |
T(1)   =          1 __|

n/2^k = 1  =>  n = 2^k  =>  k = log₂(n)   (by definition of log₂).

Answer 3

使用馬斯特定理可以很容易地解決許多標准的遞推關系。 它有三種情況。

您的遞歸關系打破了案例 #2，a 等於 1，b 等於 2，f(n) 等於 1。