使用主法求解T（n）= 2T（n / 2）+ n / log n和T（n）= 4T（n / 2）+ n / log n之間的差異

Question

我最近偶然發現了一個資源，其中MM的2T（n / 2）+ n / log n 類型的重復被宣布無法解析。

我接受它作為一個引理，直到今天，當另一個資源被證明是一個矛盾（在某種意義上）。

根據資源（下面的鏈接）：其中的Q7和Q18是rec。 分別在問題1和2中，Q7的答案表明它不能通過給出'多項式差異b / wf（n）和n ^（記錄基數b）'的原因來解決。 相反，答案18使用案例1解決了第二次復發（在這里的問題中）。

http://www.csd.uwo.ca/~moreno/CS433-CS9624/Resources/master.pdf

有人可以清除混亂嗎？

Answer 1

如果你試圖應用主定理

T(n) = 2T(n/2) + n/log n

你考慮a = 2, b = 2 ，這意味着logb(a) = 1

1. 你可以申請案例1嗎？ 0 < c < logb(a) = 1 。 是n/logn = O(n^c) 。 不，因為n/logn增長速度比n^c快得多
2. 你可以申請案例2嗎？ 編號c = 1你需要找到一些k> 0，這樣n/log n = Theta(n log^kn )
3. 你可以申請案例3嗎？ c > 1 ，是n/logn = Big Omega(n^c) ？ 不，因為它甚至不是Big Omega(n)

如果你試圖應用主定理

T(n) = 4T(n/2) + n/log n

您認為a = 4, b = 2 ，這意味着logb(a) = 2

1. 你可以申請案例1嗎？ c < logb(a) = 2 。 是n/logn = O(n^0)或n/logn = O(n^1) 。 是的確n/logn = O(n) 。 因此，我們有

    T(n) = Theta(n^2) 

注意：關於0 <c <1，案例1的說明

案例1更多地是關於分析。

f(x) = x/log(x) , g(x) = x^c , 0< c < 1
f(x) is O(g(x)) if f(x) < M g(x) after some x0, for some M finite, so 
f(x) is O(g(x)) if f(x)/g(x) < M cause we know they are positive

這不是真的，我們y = log x

f2(y) = e^y/y , g2(y) = e^cy , 0< c < 1
f2(y)/g2(y) = (e^y/y) / (e^cy) = e^(1-c)y / y  , 0< c < 1

lim inf f2(y)/g2(y) = inf
lim inf f(x)/g(x) = inf

Answer 2

這是因為在Q18中我們得到a = 4且b = 2 ，因此得到n^{log(b,a)} = n^2 ，其指數嚴格大於n/log(n)的多項式部分的指數n/log(n) 。