使用主法求解T（n）= 2T（n / 2）+ n / log n和T（n）= 4T（n / 2）+ n / log n之间的差异

Question

我最近偶然发现了一个资源，其中MM的2T（n / 2）+ n / log n 类型的重复被宣布无法解析。

我接受它作为一个引理，直到今天，当另一个资源被证明是一个矛盾（在某种意义上）。

根据资源（下面的链接）：其中的Q7和Q18是rec。 分别在问题1和2中，Q7的答案表明它不能通过给出'多项式差异b / wf（n）和n ^（记录基数b）'的原因来解决。 相反，答案18使用案例1解决了第二次复发（在这里的问题中）。

http://www.csd.uwo.ca/~moreno/CS433-CS9624/Resources/master.pdf

有人可以清除混乱吗？

Answer 1

如果你试图应用主定理

T(n) = 2T(n/2) + n/log n

你考虑a = 2, b = 2 ，这意味着logb(a) = 1

1. 你可以申请案例1吗？ 0 < c < logb(a) = 1 。 是n/logn = O(n^c) 。 不，因为n/logn增长速度比n^c快得多
2. 你可以申请案例2吗？ 编号c = 1你需要找到一些k> 0，这样n/log n = Theta(n log^kn )
3. 你可以申请案例3吗？ c > 1 ，是n/logn = Big Omega(n^c) ？ 不，因为它甚至不是Big Omega(n)

如果你试图应用主定理

T(n) = 4T(n/2) + n/log n

您认为a = 4, b = 2 ，这意味着logb(a) = 2

1. 你可以申请案例1吗？ c < logb(a) = 2 。 是n/logn = O(n^0)或n/logn = O(n^1) 。 是的确n/logn = O(n) 。 因此，我们有

    T(n) = Theta(n^2) 

注意：关于0 <c <1，案例1的说明

案例1更多地是关于分析。

f(x) = x/log(x) , g(x) = x^c , 0< c < 1
f(x) is O(g(x)) if f(x) < M g(x) after some x0, for some M finite, so 
f(x) is O(g(x)) if f(x)/g(x) < M cause we know they are positive

这不是真的，我们y = log x

f2(y) = e^y/y , g2(y) = e^cy , 0< c < 1
f2(y)/g2(y) = (e^y/y) / (e^cy) = e^(1-c)y / y  , 0< c < 1

lim inf f2(y)/g2(y) = inf
lim inf f(x)/g(x) = inf

Answer 2

这是因为在Q18中我们得到a = 4且b = 2 ，因此得到n^{log(b,a)} = n^2 ，其指数严格大于n/log(n)的多项式部分的指数n/log(n) 。