用log n求解主定理：T（n）= 2T（n / 4）+ log n

Question

我目前正在尝试用主定理解决这种关系：

T（n）= 2T（n / 4）+对数n

我已经知道a = 2和b = 4，但是我对log n感到困惑。

我的脚本说：c（n）（此处将为log n）是Big O（n ^ d）的元素。

如果我能在这里找到我的d，我将比较a和b ^ d以找出我的主定理案例。

但是，由于它在此处登录为n，因此我不确定其Big O表示法。

我的意思是我可能会说这是O（n ^1/2 ）的元素，这将导致第二种情况，其中a和b ^ d是相同的，但它也是O（n ¹ ）的元素，那么它将是又是另一种情况。

Answer 1

一个有用的事实是，对于任何ε> 0，我们都知道

log n = O（ ^nε ）。

我们也知道

log n =Ω（1）

让我们看看这是否告诉我们什么。 我们知道，对于任何ε> 0，您的复发都受此限制。

S（n）= 2S（n / 4）+ ^nε

让我们在这里使用主定理。 我们有a = 2，b = 4，和d =ε。 我们需要推理出log _b a = log ₄ 2 = 1/2以及与d =ε的关系。 让我们将ε减小-例如，让我们选择ε= 0.000001。 然后我们有log _b a <d，所以主定理说运行时间为

O（n ^{log _b a} ）= O（n ^1/2 ）。

接下来，考虑以下递归关系：

R（n）= 2R（n / 4）+ 1

这种复发会降低您的复发率。 使用主定理告诉我们，R（n）=Ω（n ^1/2 ）也是。

总体而言，我们看到您的复发率是O（n ^1/2 ）和Ω（n ^1/2 ），上下限将您的复发率分为较大和较小的复发率。 因此，即使Master Theorem在这里不适用，您仍然可以使用Master Theorem声明运行时间为Θ（n ^1/2 ）。

希望这可以帮助！