求解递归 T(n) = 2T(n/2) + n^4

Question

我正在使用 MIT 课件和 CLRS 书《算法导论》进行学习。

我目前正在尝试解决重复问题（从第 107 页开始）

T(n) = 2T(n/2) + n ⁴

如果我制作一个循环树，我会得到：

0 级：n ⁴

级别 1 2(n/2) ⁴

级别 2 4(n/4) ⁴

级别 3 8(n/8) ⁴

树有 lg(n) 层。 因此我认为复发应该是

T(n) = Θ(n ⁴ lg n)

但是，如果我使用主定理，我会明白

T(n) = Θ(n ⁴ )

显然这两种方法都不对。 哪一个是正确的？ 我的推理哪里出了问题？

Answer 1

第二个看起来是正确的。 请注意，您的重复树看起来像

n ⁴ + 2(n/2) ⁴ + 4(n/4) ⁴ + ... + 2 ⁱ (n / 2 ⁱ ) ⁴

但是 2(n/2) ⁴ ≠ n ⁴ ，因为 (n/2) ⁴ = n ⁴ / 16，所以 2(n/2) ⁴ = n ⁴ /8。 事实上，如果你计算出数学，你会得到在第 i 级完成的工作由下式给出

n ⁴ / (2 ^-3i )

所以我们得到 (1 + 1/8 + 1/64 + 1/512 + ... ) n ⁴ ，可以证明它小于 2n ⁴ 。 所以你的函数是 Θ(n ⁴ )。

Answer 2

递归是 Θ(n^4)

T(n) = 2*T(n/2) + n^4 
T(n) = 2( 2*T(n/4) + (n/2)^4) + n^4 = 4*T(n/4) + 2*(n/2)^4 + n^4
T(n) = 4(2*T(n/8) + (n/4)^4) + 2*(n/2)^4 + n^4 = 8*T(n/8) + 4*(n/4)^4 + 2(n/2)^4 + n^4

T(n) = 8*T(n/8) + n^4*(1 + 1/(2^3) + 1/(2^6))
...

T(n) = 2^k*T(n/(2^k)) + n^4*(1+ 1/(2^3) + 1/(2^6) + 1/(2^9)...+ 1/((2^(k-1))^3)

We know T(1) = 1

n = 2^k so k = log2(n) Then

T(n) = n*T(1) + n^4*( 1 - (1/(2^3))^k)/(1-1/8)

T(n) = n + (8/7)*n^4*(1 - n^(-3))

T(n) = n + (8/7)*(n^4 - n)

T(n) = (8/7)*n^4 - (1/7)*n


Θ(T(n)) = Θ((8/7)*n^4 - (1/7)*n)
Θ(T(n)) = Θ(n^4)

它是Θ(n^4)

Answer 3

你可以在这里直接使用主定理。

这个方程适合主定理的情况 1，其中log (a) base b < f( n)

a : 重复次数 b : 子部分数

log a base b = log 2 base 2 = 1 < n^4

因此根据主人定理， T(n) = theta(f(n)) = theta(n^4)

Answer 4

由主定理

a=2, b=2, f(n)=n^4

第一步 - 计算 n^(log a to base b) => n(log 2 to base 2) = n*1 = n 第二步 - 是 f(n)> 第一步结果 => n^4> n =>是这意味着使用主定理的案例 3。

第三步 - 检查规律性条件

a. f(n/b) <= c. f(n) where c>1 
a(n/b) . log(n/b) <= c. f(n)
2.(n/2) . log(n/2) <= c. n^4
n.log(n/2) <= c.n^4

是的，正则性条件满足，所以我们的解一定是。

T(n) =theta (f(n)) = theta(n^4)