递归 2T(n-1)+O(n) 的时间复杂度是多少？

Question

T(n) = 2T(n-1) + O(n) 的渐近复杂度是多少？ 我想它是使用替换方法解决的..如何解决这种重复问题？ 您可以假设算法在达到 T(1) 时停止。

Answer 1

这里不能使用主定理，因为尺寸收缩因子 b (=(n-1)/n) 基本上等于 1。

但是，如果计算前几项，则可以很容易地看到时间复杂度为 2**n：

T(1) = 1                                = 1
T(2) = 2*1 + O(n)                       = 2 + O(n)
T(3) = 2*(2*1 + O(n)) + O(n)            = 2**2 + 3O(n)
T(4) = 2*(2*(2*1 + O(n)) + O(n)) + O(n) = 2**3 + 7O(n)
    :    :    :    :    :    :    :    :    :
T(n) = 2**(n-1) + O(n) * (2**(n-1)-1)   ≈ O(2**n)

Answer 2

替换方法有一个技巧。 如果你尝试直接的方法，你会得到

T(n) <=? 2^n
T(n) = 2 T(n-1) + cn
     <= 2^(n-1) + 2^(n-1) + cn
     = 2^n + cn,

不小于或等于2^n 。 解决方案并不直观：减去一个低阶项。 省略一些摆弄以获得正确的，

T(n) <=? d 2^n - cn - 2c
T(n) = 2 T(n-1) + cn
     <= 2 (d 2^(n-1) - c (n-1) - 2c) + cn
     = d 2^n - cn - 2c,

并设置d以覆盖基本情况。 （鉴于您想要大 O，您甚至不需要非常准确地猜测正确的术语。）