T(n) = 2T(n/2) +O(1) 的时间复杂度是多少

Question

我想知道我的递归方法的时间复杂度是多少：T(n) = 2T(n/2) + O(1) 我看到一个结果说它是 O(n) 但我不知道为什么，我解决它是这样的：

T(n) = 2T(n/2) + 1
T(n-1) = 4T(n-1/4) + 3
 T(n-2) = 8T(n-2/8) + 7
......  …………..  ..
T(n) = 2^n+1 T (n/2^n+1) + (2^n+1 - 1) 

Answer 1

考虑n=2^m ，它允许你写

T(2^m)=2T(2^(m-1))+O(1)

或通过表示S(m):= T(2^m) ，

S(m)=2 S(m-1) + O(1),

2^m S(m)=2 2^(m-1)S(m-1) + 2^(m-1) O(1)

最后，

R(m) = R(m-1) + 2^(m-1) O(1).

现在通过归纳，

R(m) = R(0) + (2^m-1) O(1),

T(n) = S(m) = 2^(1-m) T(2^m) + (2 - 2^(m-1)) O(1) = 2/n T(n) + (2 - n/2) O(1).

Answer 2

我认为您对递归关系有错误的看法。 你可以这样思考：

如果 T(n) 表示函数 T() 在 input = n 处的值，则该关系表示输出是当前输入一半处的值的两倍。 因此，对于输入 = n-1 输出，即 T(n-1) 将是该输入一半处的值的两倍多，即 T(n-1) = 2*T((n-1)/2) + 1

上面那种递归关系应该按照 Yves Daoust 的回答来解决。 有关递归关系的更多示例，您可以参考这个

Answer 3

您可能需要记住一些规则。 如果你能记住这些简单的规则，那么主定理很容易解决递推方程。 以下是需要记住的基本规则

case 1) If n^(log b base a) << f(n) then T(n) = f(n)
case 2) If n^(log b base a) = f(n) then T(n) = f(n) * log n
case 3) 1) If n^(log b base a) >> f(n) then T(n) = n^(log b base a)

现在，让我们使用上述方程求解递归。

a = 2, b = 2, f(n) = O(1)
n^(log b base a) = n = O(n)

这是上述等式中的情况 3)。 因此 T(n) = n^(log b base a) = O(n)。