T(n) = 2T(n/2) +O(1) 的時間復雜度是多少

Question

我想知道我的遞歸方法的時間復雜度是多少：T(n) = 2T(n/2) + O(1) 我看到一個結果說它是 O(n) 但我不知道為什么，我解決它是這樣的：

T(n) = 2T(n/2) + 1
T(n-1) = 4T(n-1/4) + 3
 T(n-2) = 8T(n-2/8) + 7
......  …………..  ..
T(n) = 2^n+1 T (n/2^n+1) + (2^n+1 - 1) 

Answer 1

考慮n=2^m ，它允許你寫

T(2^m)=2T(2^(m-1))+O(1)

或通過表示S(m):= T(2^m) ，

S(m)=2 S(m-1) + O(1),

2^m S(m)=2 2^(m-1)S(m-1) + 2^(m-1) O(1)

最后，

R(m) = R(m-1) + 2^(m-1) O(1).

現在通過歸納，

R(m) = R(0) + (2^m-1) O(1),

T(n) = S(m) = 2^(1-m) T(2^m) + (2 - 2^(m-1)) O(1) = 2/n T(n) + (2 - n/2) O(1).

Answer 2

我認為您對遞歸關系有錯誤的看法。 你可以這樣思考：

如果 T(n) 表示函數 T() 在 input = n 處的值，則該關系表示輸出是當前輸入一半處的值的兩倍。 因此，對於輸入 = n-1 輸出，即 T(n-1) 將是該輸入一半處的值的兩倍多，即 T(n-1) = 2*T((n-1)/2) + 1

上面那種遞歸關系應該按照 Yves Daoust 的回答來解決。 有關遞歸關系的更多示例，您可以參考這個

Answer 3

您可能需要記住一些規則。 如果你能記住這些簡單的規則，那么主定理很容易解決遞推方程。 以下是需要記住的基本規則

case 1) If n^(log b base a) << f(n) then T(n) = f(n)
case 2) If n^(log b base a) = f(n) then T(n) = f(n) * log n
case 3) 1) If n^(log b base a) >> f(n) then T(n) = n^(log b base a)

現在，讓我們使用上述方程求解遞歸。

a = 2, b = 2, f(n) = O(1)
n^(log b base a) = n = O(n)

這是上述等式中的情況 3)。 因此 T(n) = n^(log b base a) = O(n)。