function T(n)=2T(n/4)+O(1)的時間復雜度是多少？（沒有masters定理）

Question

任何人都可以使用遞歸樹解釋 T(n)=2T(n/4)+O(1) 的時間復雜度嗎？ 我在某處看到它說 O(n^1/2)。

Answer 1

只需將方程展開一些迭代，並使用數學歸納法來證明觀察到的模式：

T(n) = 2T(n/4) + 1 = 2(2T(n/4^2) + 1) + 1 = 2^2 T(n/4^2) + 2 + 1

因此：

T(n) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^k = 2^(k+1) - 1 \in O(2^(k+1))

什么是k ？ 來自擴展4^k = n 。 所以， k = 1/2 log(n) 。 因此， T(n) \in O(2^(1/2 log(n) + 1)) = O(sqrt(n)) 。 請注意2^log(n) = n 。