T(N) = 2T(N − 1) + N 的大 O，T(1) = 2

Question

如何為此獲得big-O ？

T(N) = 2T(N − 1) + N, T(1) = 2

我得到了兩種答案O(2^N)或O(N^2) ，但我不確定如何正確解決它

Answer 1

將T(N)除以2^N並命名結果：

S(N) = T(N)/2^N

從T(N)的定義我們得到

S(N) = S(N-1) + N/2^N                                  (eq.1)

意味着S(N)增加，但很快收斂到一個常數（因為N/2^N -> 0 ）。 所以，

T(N)/2^N -> constant

或者

T(N) = O(2^N)

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詳細證明

在下面的評論中，Paul Hankin 建議了如何完成證明。 取 eq.1 和從N=2到N=M

sum_{N=2}^M S(N) = sum_{N=2}^M S(N-1) + sum_{N=2}^M N/2^N
                 = sum_{N=1}{M-1} S(N) + sum_{N=1}^{M-1} (N-1)/2^{N-1}

因此，在取消索引為N = 2 , 3 , ..., M-1 ，我們得到

S(M) = S(1) + sum_{N=1}^M N/2^N - M/2^M

並且由於右側的級數收斂（因為對於已知收斂的N>>1 ，其項以1/N^2為界）， S(M)收斂到一個有限常數。

Answer 2

這是一道數學題，Leandro Caniglia 是對的。

讓 b(n) = T(n) / 2^n

因此 b(n) = b(n-1) + n / 2^n = b(n-2) + n / 2^n + (n-1) / 2^(n-1) ....

對於每個整數 i，i / 2^i 都小於 1

所以它們的總和有極限並且必須小於某個常數。

因此 b(n) < C。

因此 T(n) < 2^n * C。

很明顯，T(n) >= 2^n。

所以 T(n) 是 O(2^n)

Answer 3

通過在等式中插入答案來檢查。

2^N = 2.2^(N-1) + N = 2^N + N

或者

N^2 = 2 (N-1)^2 + N

只保留主要術語，你有

2^N ~ 2^N 

或者

N^2 ~ 2 N^2.

得出結論。