展開方法：當 n = 0 和 2T(n-1) + 1 時，T(n) = 1

Question

為了

• 當 n = 0 時，T(n) = 1
• T(n) = 2T(n-1) + 1 否則

我知道我們應該尋找模式並理解問題，直到我們開始用不同的變量轉換方程。 然而，一旦我到達那里，我不明白它是如何完成的以及為什么要完成某些事情。

我的問題特別是我們在 2 ⁱ ·T(n-1) 處用n替換i 。 但是，完整的解釋也很有用！

Answer 1

就像 99999 ₁₀是 100000 ₁₀ - 1, 11111 ₂是 100000 ₂ - 1 一樣。

有兩種方法可以看待這個問題。 一個是從一些任意的n個工作倒退，這說明你已經蓋。 我發現有用的另一種方法是從零開始，直到n ：

• T(0) = 1
• T(1) = 1 << 1 + 1 = 3
• T(2) = 3 << 1 + 1 = 7
• ...

這里 << 是二進制數上的“左移”運算符，相當於乘以 2。這個運算符在許多編程語言中相當常見。 它有助於表明您只是在每一步添加 1 位。 回到第一個斷言， n個連續的一位等價於 2 ^{n + 1} - 1。

您問題中的解釋僅使用i作為從 1 到n運行的計數器。 除了作為計步器之外，它不是等式的一部分。 在最后一步中， i = n ，因此您可能會對轉換感到困惑。

Answer 2

當第一次看到公式時，我和你有同樣的問題。 但讓我們從頭開始。
首先，您嘗試通過i逐步接近最終深度n 。 因此，對於每個數字i您解析公式i次（在圖片中i=1 , i=2 , i=3 , i=4 ），但要注意您還不能解析T(ni) 。 但是您可以推導出i=n的模式。 這一行實際上是從錯誤開始的：圖片上寫着i=ni但實際上應該是i=n因為你到達了底部。
剩下的就很簡單了：你寫下你看到的模式並將它放在一個總和公式中（ Sum_{j=0}^{i-1}2^j ）。 你用n代替i ，因為這是該行的前提。 您將T(nn)替換為T(0)=1 。 接下來，您應用有限幾何級數，從而擺脫求和符號。 其余的應該是清楚的。