展开方法：当 n = 0 和 2T(n-1) + 1 时，T(n) = 1

Question

为了

• 当 n = 0 时，T(n) = 1
• T(n) = 2T(n-1) + 1 否则

我知道我们应该寻找模式并理解问题，直到我们开始用不同的变量转换方程。 然而，一旦我到达那里，我不明白它是如何完成的以及为什么要完成某些事情。

我的问题特别是我们在 2 ⁱ ·T(n-1) 处用n替换i 。 但是，完整的解释也很有用！

Answer 1

就像 99999 ₁₀是 100000 ₁₀ - 1, 11111 ₂是 100000 ₂ - 1 一样。

有两种方法可以看待这个问题。 一个是从一些任意的n个工作倒退，这说明你已经盖。 我发现有用的另一种方法是从零开始，直到n ：

• T(0) = 1
• T(1) = 1 << 1 + 1 = 3
• T(2) = 3 << 1 + 1 = 7
• ...

这里 << 是二进制数上的“左移”运算符，相当于乘以 2。这个运算符在许多编程语言中相当常见。 它有助于表明您只是在每一步添加 1 位。 回到第一个断言， n个连续的一位等价于 2 ^{n + 1} - 1。

您问题中的解释仅使用i作为从 1 到n运行的计数器。 除了作为计步器之外，它不是等式的一部分。 在最后一步中， i = n ，因此您可能会对转换感到困惑。

Answer 2

当第一次看到公式时，我和你有同样的问题。 但让我们从头开始。
首先，您尝试通过i逐步接近最终深度n 。 因此，对于每个数字i您解析公式i次（在图片中i=1 , i=2 , i=3 , i=4 ），但要注意您还不能解析T(ni) 。 但是您可以推导出i=n的模式。 这一行实际上是从错误开始的：图片上写着i=ni但实际上应该是i=n因为你到达了底部。
剩下的就很简单了：你写下你看到的模式并将它放在一个总和公式中（ Sum_{j=0}^{i-1}2^j ）。 你用n代替i ，因为这是该行的前提。 您将T(nn)替换为T(0)=1 。 接下来，您应用有限几何级数，从而摆脱求和符号。 其余的应该是清楚的。