递归关系的最坏情况和最佳情况运行时复杂度 T(n) = 2T(n/2) + T(n-1) + 常数

Question

我正在寻找以下递归关系的最坏情况和最佳情况运行时分析：

T(n) = 2T(n/2) + T(n-1) + 1

我在 Stack Overflow 或 Web 上找不到完全相同的问题。

在这种情况下，我们有三个分支，并且我们知道T(n/2)会比T(n-1)更快地到达基本情况，所以根据我的理解，最长的叶子到根路径代表最坏的情况复杂性和最短叶到根路径代表最佳情况的复杂性。

因此，我们认为最好的案例复杂度是：

T(n) = log(n) * T(1)

假设T(1)=1 ，那么我们有最佳情况复杂度

T(n) = O(logn)

如果我们看一下最坏情况的复杂性，我们有

T(n) = n * T(1)

因此，我们有（再次假设T(1)=1 ）：

T(n) = O(n)

我可能在这里误解了一些东西，或者这个时序分析对于这种重复关系是否准确？

Answer 1

假设 T(1)=1，那么我们有最好的情况复杂度

您不能简单地替换T(1)并声称它是最佳情况复杂度。 特别是使用 Big-O 符号来表示

T(n) = O(logn)

正确地说，您将使用Ω(logn) 。

对于最佳情况复杂度，需要研究算法在增加大小时的行为，并分析算法是否存在可能导致不同场景的任何属性。 例如，在最佳情况下，在 BST 中的搜索可能是恒定的，但您仍然使用输入“n”来考虑它，而不是使用单个元素的最佳情况下。

在您的情况下，您没有具体的算法，而是 function （表示为重复）。 因此，谈论最好和最坏的情况是没有意义的

在这种情况下，我们有三个分支，并且我们知道 T(n/2) 会比 T(n-1) 更快地到达基本情况，所以根据我的理解，最长的叶子到根路径代表最坏的情况复杂

在计算递归时，不仅要考虑递归树的高度，还要考虑分支的数量。 所以：

如果我们看一下最坏情况的复杂性，我们有

T(n) = n * T(1)

你的理性是不正确的。