使用 Master 方法求解递推关系 -> T(n) = 2T(n/2) + n^2 当 n 为偶数时 T(n) = 2T(n/2) + n^3 当 n 为奇数时

Question

T(n) ={ 2T(n/2) + n^2 when n is even and T(n) = 2T(n/2) + n^3 when n is odd

我分别解决了这个和我得到的溶液，作为theta(n^2)如果n为偶数和theta(n^3)如果n是从主定理的情况下3奇数。 但我不应该单独解决这个问题。

如何一起解决这样的递推关系？

T(n) ={ 2T(n/2) + n^2 when n is even and T(n) = 2T(n/2) + n^3 when n is odd

它是否可以通过大师定理解决或大师定理不适用？

请帮我解决这个问题。

Answer 1

假设对于某个整数k ， n = 2^k ，因此n等于100...00 。 然后，您可以将主方法应用于重复的偶数部分。 并获得theta(n^2) 。

现在假设也有1不在最高有效位，例如100100..00 。 因此，您的递归树中将至少有一个级别，所有节点的总和为n^3 * constant ，由此您获得theta(n^3) 。

因此，如果n是theta(n^2)的幂，则答案为theta(n^2)否则为theta(n^3) 。 但是如果我们第一次遇到奇数n并且它等于一个基本情况，那么它可能不是三次方。

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在与 kelalaka 聊了几句之后，我发现如果第一个1是n从右边开始的第k个，那么如果k > (2/3)(1/lg 2)lg n ，我们就不再关心(n/2^k)^3 。 它仍然是O(n^2) 。