求解遞歸關系：T（n）= T（n-1）+ n-1

Question

我被要求解決這種復發關系。 我得到了下一個解決方案： https ： //imgur.com/a/xWoTI40

所以我決定問我的老師這是不對的。 他告訴我，事實並非如此; 這是正確的解決方案： https ： //imgur.com/a/CGD0ta8

我現在完全無能為力。 我最努力理解為什么我的錯了; 我認為它是最正確的。

有人可以解釋一下嗎？

Answer 1

你的解決方案是對的。 這是一個不同的方法，結果相同：

t(1) = 0 (given)
t(2) = t(1) + 1 = 1
t(3) = t(2) + 2 = 1 + 2 = 3
t(4) = t(3) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6
...
t(n) = 1 + 2 + ... + (n-1) = n * (n - 1) / 2 = Theta(n^2).

在第二個=符號后，教師的解決方案是錯誤的。 這是老師寫的：

t(n-1) + n - 1 = t(n-2) + n - 1 - 2

但實際上以下是正確的：

t(n-1) + n - 1 = ( t(n-2) + n - 2 ) + n - 1

這實際上就是你得到的。 看來，老師下降的n項。

實際上，教師的解決方案以-n^2的顯性項結束，這顯然是錯誤的，因為對於所有n >= 0 ， t(n) >= 0 n >= 0 。