算法T（n）= T（n-1）+2

Question

我如何在該方程式上應用主定理？

如果T（1）= 1且

T（n）= T（n-1）+2

這樣的程序的運行時間是多少？ T（1）= 1是什么？ 這是什么情況，為什么？ 請詳細說明。 謝謝。

Answer 1

您不能在此處使用Master定理（至少沒有變量替換），因為它的格式不正確。

但是，您的函數易於分析，位於Theta(n) 。

通過歸納證明，對於每個k<n ， T(k) <= 2k

T(n) = T(n-1) + 2 <= 2(n-1) + 2 = 2n -2 + 2 <= 2n
                   ^
               induction 
               hypothesis

歸納的基礎是T(1) = 1 <= 2

上面顯示了T(n)在O(n) ，因為我們發現c=2使得對於n>0 ，以下是正確的： T(n) <= c*n ，這是big的定義O符號 。

類似地證明T(n)在Omega(n)很容易，由此您可以得出結論T(n)在Theta(n)

Answer 2

謝謝您的幫助。 因此，在您的回答和一個新的遞歸方程的幫助下，我想我終於明白了。 可以說我有T（N）= 1 * T（n-1）+ n ^ 2。 主定理在這里也不適用，因此我有基本情況。

T(1) = 1
T(2) = 5
T(3) = 14
T(4) = 30

--> Proof by induction, T(k) <= 2k for each k<n

T(n) = T(n-1) + n^2 <= n^2(n-1) + n^2 = n^3 - n^2 + n^2 = n^3
                    ^
                induction 
                hypothesis
So this leads to O(N^3) ? not sure about this. Why not Omega or Theta.

我的假設/歸納何時為<，>或> =。