是 T(n)= T(n-1) + n 總是 n(n+1)/2 還是 O(n^2)

Question

我看了一個視頻，他們證明T(n)= T(n-1) + n is O(n^2)

我有以下表達式：

T(1) = 4 
T(N) = T(N – 1) + N + 3, N > 1 

我的問題是，上面的表達式是否以同樣的方式解決，即使 N 之后有 +3。

這個問題有點混亂，但我希望你明白這一點。 如果有問題，我會嘗試更好地解釋。

總之就是 T(N) = T(N – 1) + N + 3 = O(n^2)

Answer 1

T(n) = T(n-1) + n-1 + 4 => 給定方程加 1 減 1

T(n) = T(n-1) + n-1 + T(1) ...(1)

現在， T(1) = 常數。

因此，從 eq( 1 )，

T(n) = T(n-1) + (n-1) ...(2)

Eq( 2 ) 簡化為T(n) = T(nk) + n*k - k*(k+1)/2 ...(3)

在 eq( 3 ) 中代入(nk)=1或k=(n-1) ，

我們得到，

T(n) = T(1) + n*(n-1) - (n-1)(n)/2

T(n) = n*(n-1)/2 => O(n^2)

PS：如果我們不忽略 eq( 1 ) 中的 T(1)，我們得到的最終方程是T(n) = n*(n-1)/2 + T(1) + 4*k => T(n) = n*(n-1)/2 + 4 + 4*(n-1)仍然給出O(n^2)作為最終答案。