如何解決遞歸T（n）= T（n-1）+…T（1）+1？

Question

我需要找到涉及遞歸的算法的復雜性：

T(n) = T(n-1) + ... + T(1) + 1

T(n)是解決大小為n的問題所花費的時間。

主方法不適用於此處，我無法猜測使用替代方法（無論如何我都不想使用替代方法）。 我剩下的是遞歸樹方法。

由於每個節點的子節點數量不是恆定的，因此我很難跟蹤每個節點的貢獻量。 潛在的模式是什么？

我知道我必須找到樹中的節點數，其中每個節點（ k ）的子節點都有從1到k-1編號的所有節點。

給定該公式，是否還可以找到准確的時間T(n) ？

Answer 1

由於T(n-1) = T(n-2) + ... + T(1) + 1

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + ... + T(1) + 1
     = T(n-1) + T(n-1)
     = 2*T(n-1)

和T(1) = 1 => T(n) = 2^(n-1)