[英]How to solve this recurrence relation: T(n) = 4*T(sqrt(n)) + n
我知道如何使用主方法解決遞歸關系。 我也知道如何解決以下重復問題:
T(n)= sqrt(n)* T(sqrt(n))+ n
T(n)= 2 * T(sqrt(n))+ lg(n)
在以上兩個重復中,遞歸樹的每個級別上的工作量相同。 遞歸樹中總共有log log n個級別。
我在解決這一問題時遇到了麻煩:T(n)= 4 * T(sqrt(n))+ n
編輯:這里n是2的冪
假設n = 2 ^ k。 我們有T(2 ^ k)= 4 * T(2 ^(k / 2))+ 2 ^ k。 令S(k)= T(2 ^ k)。 我們有S(k)= 4S(k / 2)+ 2 ^ k。 通過使用Mater定理,我們得到S(k)= O(2 ^ k)。 由於S(k)= O(2 ^ k)並且S(k)= T(2 ^ k),因此T(2 ^ k)= O(2 ^ k)這意味着T(n)= O(n)。
我在解決這一問題時遇到了麻煩:T(n)= 4 * T(sqrt(n))+ n
編輯:這里n是2的冪
此編輯很重要。 因此,可以說遞歸在2處停止。
因此,現在的問題是遞歸樹的深度。 好吧,這是您可以在n變得足夠小(例如,小於2)之前取n的平方根的次數。 如果我們寫
n = 2 lg n
那么在每個遞歸調用中n都會取其平方根。 這等效於將上述指數減半,因此經過k次迭代,我們得到了
n 1 /(2 k ) = 2 lg n /(2 k )
我們想在小於2時停止
2 lg n /(2 k ) = 2
lg n /(2 k )= 1
lg n = 2 k
lg lg n = k
因此,在平方根的所有迭代之后,遞歸停止。 ( 來源 )
對於每次遞歸,我們將有4個新分支,分支的總數為4 ^(樹的深度),因此為4^(lg lg n)
。
編輯 :
T(n) = 4 T(sqrt(n)) + n
4 [ 4 T(sqrt(sqrt(n) + n ] + n
4^k * T(n^(1/2^k)) +kn because n is power of 2.
4^k * T(2^(L/2^k)) +kn [ Let n = 2^L , L= logn]
4^k * T(2) +kn [ Let L = 2^k, k = logL = log log n]
2^2k * c +kn
L^2 * c + nloglogn
logn^2 * c + nloglogn
= O(nloglogn)
T(n) = 4T(√n) + n
suppose that (n = 2^m) . so we have :
T(2^m) = 4T(2^(m/2)) + (2^m)
now let name T(2^m) as S(m):
S(m) = 4S(m/2) + m . now with master Method we can solve this relation, and the answer is :
S(m) = Θ(m^2)
now we step back to T(2^m):
T(2^m) = Θ((2^m)^2)
now we need m to solve our problem and we can get it from the second line and we have :
n = 2^m => m=lgn
and the problem solved .
T(n) = Θ((2^lgn)^2)
T(n) = Θ(n^2)
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