計算遞歸關系 T(n) = sqrt(n * T(sqrt(n)) + n)

Question

我認為這個遞歸的復雜性是 O(n^2/3)` 通過改變變量和歸納。 但我不確定。 這個解決方案正確嗎？

Answer 1

這是一個引人入勝的遞歸，它不能解決Θ(n)。 相反，它似乎解決了Θ(n ^2/3 ) 。

為了直觀說明為什么這不可能是 Θ(n)，讓我們假設我們正在處理一個非常非常大的 n 值。 那么自從

T(n) = (nT(√n) + n) ^1/2

在 T(√n) ≈ √n 的假設下，我們會得到

T(n) = (n√n + n) ^1/2

= (n ^3/2 + n) ^1/2

≈ n ^3/4 。

換句話說，假設 T(n) = Θ(n) 會給我們一個不同的 T(n) 值，因為 n 變大了。

另一方面，讓我們假設 T(n) = Θ(n ^2/3 )。 然后同樣的計算給了我們

T(n) = (nT(n) + n) ^1/2

= (n · n ^2/3 + n) ^1/2

≈ (n ^4/3 ) ^1/2

= n ^2/3 ,

這與它本身是一致的。

為了驗證這一點，我編寫了一個簡短的程序，在給定不同輸入的情況下打印出不同的 T(n) 值並繪制結果。 這是我寫的 T(n) 的版本：

double T(double n) {
  if (n <= 2) return n;
  return sqrt(n * T(sqrt(n)) + n);
}

我決定使用 2 作為基本情況，因為反復取平方根永遠不會讓 n 下降到 1。 我還決定使用實值 arguments 而不是離散的 integer 值，只是為了使數學更容易。

如果你 plot T(n) 的值，你會得到這條曲線：

.

這看起來不像我對線性 plot 的期望。 為了弄清楚這是什么，我將它繪制在對數/對數 plot 上，它具有一個很好的特性，即所有多項式函數都轉換為斜率等於指數的直線。 結果如下：

我咨詢了我的 Handy Neighborhood Regression Software 並要求它確定這條線的斜率。 這是它回饋的內容：

坡度：0.653170918815869

R ² ：0.999942627574643

這是一個非常好的擬合，0.653 的斜率非常接近 2/3。 所以這是更多的經驗證據支持遞歸求解到 Θ(n ^2/3 )。

現在剩下要做的就是計算數學。 我們將使用一系列替換來解決這種重復。

首先，我通常不太習慣以這種遞歸方式使用指數的方式使用它們，所以讓我們記錄雙方的日志。 （在整個說明中，我將使用 lg n 來表示 log ₂ n）。

lg T(n) = lg (nT(√n) + n) ^1/2

= (1/2) lg (nT(√n) + n)

= (1/2) lg(T(√n) + 1) + (1/2)lg n

≈ (1/2) lg T(√n) + (1/2) lg n

現在，讓我們定義 S(n) = lg T(n)。 然后我們有

S(n) = lg T(n)

≈ (1/2) lg T(√ n) + (1/2) lg n

= (1/2) S(√ n) + (1/2) lg n

這更容易處理，盡管我們仍然存在每次冪次遞減的問題。 為了解決這個問題，讓我們再做一次替換，這是在處理這類表達式時相當常見的替換。 讓我們定義 R(n) = S(2 ⁿ )。 然后我們有

R(n) = S(2 ⁿ )

≈ (1/2)S(√2 ⁿ ) + (1/2) lg 2 ⁿ

= (1/2)S(2 ^n/2 ) + (1/2) n

= (1/2) R(n / 2) + (1/2) n

偉大的。 現在剩下要做的就是求解 R(n)。

現在，這里有一個小問題。 我們可以立即使用主定理得出 R(n) = Θ(n) 的結論。 這樣做的問題是，僅僅知道 R(n) = Θ(n) 不會讓我們確定 T(n) 是什么。 具體來說，假設我們只知道 R(n) = Θ(n)。 那么我們可以這么說

S(n) = S(2 ^{lg n} ) = R(lg n) = Θ(log n)

得到 S(n) = Θ(log n)。 然而，當我們試圖根據 S(n) 求解 T(n) 時，我們會遇到困難。 具體來說，我們知道

T(n) = 2 ^S(n) = 2 ^{Θ(log n)} ,

但我們不能go 從這里說 T(n) = Θ(n)。 原因是 Θ(log n) 中的隱藏系數在這里很重要。 具體來說，如果 S(n) = k lg n，那么我們有

2 ^{k lg n} = 2 ^{lg n k} = n ^k ,

所以對數的前導系數最終將確定多項式的指數。 因此，在求解 R 時，我們需要確定線性項的准確系數，即轉化為 S 的對數項的准確系數。

所以讓我們跳回到 R(n)，我們知道是

R(n) ≈ (1/2) R(n/2) + (1/2)n。

如果我們重復幾次，我們會看到這種模式：

R(n) ≈ (1/2) R(n/2) + (1/2)n

≈ (1/2)((1/2) R(n/4) + (1/4)n) + (1/2)n

≈ (1/4)R(n/4) + (1/8)n + (1/2)n

≈ (1/4)((1/2)R(n/8) + n/8) + (1/8)n + (1/2)n

≈ (1/8)R(n/8) + (1/32)n + (1/8)n + (1/2)n。

模式似乎是，經過 k 次迭代，我們得到了

R(n) ≈ (1/2 ^k )R(n/2 ^k ) + n(1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 +... + 1/2 ^2k+1 )。

這意味着我們應該查看總和

(1/2) + (1/8) + (1/32) + (1/128) +...

這是

(1/2)(1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 +...)

作為幾何級數的總和，求解為

(1/2)(4/3)

= 2/3 。

你看。 這是我們之前所說的2/3。 這意味着對於某些常數 c，R(n) 的結果約為 (2/3)n + c，這取決於遞歸的基本情況，因此，我們看到

T(n) = 2 ^S(n)

= 2 ^{S(2 lg n )}

= 2 ^{R(lg n)}

≈ 2 ^{(2/3)lg n + c}

= 2 ^{lg n 2/3 + c}

= 2 ^c 2 ^{lg n 2/3}

= 2 ^c n ^2/3

= Θ(n ^2/3 )

這與之前的理論預測值和經驗觀察值相匹配。

這是一個非常有趣的問題，我承認我對答案感到驚訝，不過我有點緊張，我可能錯過了一些東西

lg T(n) = (1/2) lg (T(√n) + 1) + (1/2) lg n

至

lg T(n) ≈ (1/2) lg T(√ n) + (1/2) lg n。

有可能這個 +1 術語實際上在我不認識的重復中引入了一些其他術語。 例如，是否會出現 O(log log n) 項？ 這不會讓我感到驚訝，因為我們有一個以平方根縮小的遞歸。 但是，我已經進行了一些簡單的數據探索，但我沒有看到任何看起來像涉及雙對數的術語。

希望這可以幫助！

Answer 2

我們知道：

T(n) = sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n)) + 1)

因此：

T(n) < sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n)) + T(sqrt(n)))

1被替換為T(sqrt(n)) 。 所以，

T(n) < sqrt(2) * sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n))

現在，要找到一個上限，我們需要解決以下循環關系：

G(n) = sqrt(2n) * sqrt(G(sqrt(n))

為了解決這個問題，我們需要擴展它（假設n = 2^{2^k}和T(1) = 1 ）：

G(n) = (2n)^{1/2} * (2n)^{1/8} * (2n)^{1/32} * ... * (2n)^(1/2^k) => 
G(n) = (2n)^{1/2 + 1/8 + 1/32 + ... + 1/2^k} = 

如果我們從1/2 + 1/8 + 1/32 +... + 1/2^k中取因子1/2 ，我們將得到1/2 * (1 + 1/4 + 1/8 +... + 1/2^{k-1}) . 我們知道1 + 1/4 + 1/8 +... + 1/2^{k-1}是比率為1/4的幾何級數，在無窮遠處等於4/3 。 因此G(n) = Theta(n^{2/3})和T(n) = O(n^{2/3}) 。

請注意，由於sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n)) < T(n) ，我們可以證明與前面的情況類似，即T(n) = Omega(n^{2/3}) 。這意味着T(n) = Theta(n^{2/3}) 。

Answer 3

T(n) = sqrt(n*T(sqrt(n)) + n)

我們將兩邊都提高到 2 的冪：

[T(n)]^2 = n*T(sqrt(n)) + n

從兩邊除n ：

{[T(n)]^2 / n} = T(sqrt(n) + 1 

讓m等於log(n)因此， n將等於2^m

{[T(2^m)]^2 / 2^m} = T(sqrt(2^m) + 1

我們將定義一個新的 function S(m) = {[T(2^m)]^2 / 2^m}

S(m) = T(m/2) + 1

根據 Mater 定理，它等於θ(log(m)) = θ(log(log(n)))
所以我們知道：

{[T(n)]^2 / n} = θ(log(log(n)))

兩邊同時乘以n得到：

[T(n)]^2] = θ(n*log(log(n)))

因此，

T(n) = θ(sqrt(n*log(log(n))))