解決以下重復問題：T（n）= T（n / 3）+ T（n / 2）+ sqrt（n）

Question

我正在嘗試解決以下重復問題：T（n）= T（n / 3）+ T（n / 2）+ sqrt（n）我目前已經執行了以下操作，但不確定是否在正確的軌道上：

1. T（n）<= 2T（n / 2）+ sqrt（n）
2. T（n）<= 4T（n / 4）+ sqrt（n / 2）+ sqrt（n）
3. T（n）<= 8T（n / 8）+ sqrt（n / 4）+ sqrt（n / 2）+ sqrt（n）
4. 因此，n /（2 ^ k）= 1，並且sqrt部分簡化為：（a（1-r ^ n））/（1-r）

5. K = log2（n）並且高度為2 ^ k，所以2 ^（log2（n））但：

   我不確定如何將2 ^（log2（n））的結果與sqrt（n）部分相結合。

Answer 1

一個很好的初始嘗試是確定時間復雜度函數的上限和下限 。 這些是由：

這兩個函數比T(n)本身更容易解決。 考慮稍微更一般的功能：

我們什么時候停止遞歸？ 我們需要一個停止條件 。 由於沒有給出，因此可以假設它為n = 1而不會失去一般性（希望您會看到如何）。 因此，項數m由下式給出：

因此，我們可以獲得T(n)上下限：

---

我們可以做得更好嗎？ 即獲得n和T(n)之間的確切關系？

從我以前的答案在這里 ，我們可以推導出二項式求和公式T(n)

哪里

C使得n = C是T(n)的停止條件。 如果沒有給出，我們可以假設C = 1而不會失去一般性。

---

在您的示例中， f(n) = sqrt(n), c1 = c2 = 1, a = 3, b = 2 。 因此：

---

我們如何評估內部和？ 考慮具有正指數m的二項式展開的標准公式：

因此，我們將x, y替換為公式中的相應值，並得到：

我們使用標准幾何級數公式和對數規則到達了最后兩個步驟。 請注意，該指數與我們之前發現的范圍一致。

---

一些數值測試可以確認這種關系：

N       T(N)
--------------------
500000  118537.6226
550000  121572.4712
600000  135160.4025
650000  141671.5369
700000  149696.4756
750000  165645.2079
800000  168368.1888
850000  181528.6266
900000  185899.2682
950000  191220.0292
1000000 204493.2952

log T(N)對於log N ：

這樣的圖m的梯度使得T(N) ∝ N^m ，我們看到m = 0.863 ，這非常接近理論值0.861 。