求解遞歸T（floor [n / 2]）+ T（ceil [n / 2]）+ n-1

Question

我的復發如下：

T(n) = c for n = 1.
T(n) = T(floor[n/2]) + T(ceil[n/2]) + n - 1 for n > 1.

在我看來，這似乎是歸並排序，所以我猜想遞歸的解決方案是Θ（nlogn）。 根據主方法，我有：

a) Θ(1) for n = 1 (constant time).
b) If we drop the floor and ceil we have: (step1)
   T(N) = 2T(N/2) + n - 1 => a = 2, b = 2.
   logb(a) (base b) = lg(2) = 1 so n^lg(2) = n^1 = n

仔細研究一下，我們知道我們擁有主方法的情況2：

 if f(n) = Θ(log(b)a) our solution to the recurrence is T(n) = Θ(log(b)a log(2)n)

解的確是T（n）=Θ（nlogn），但我們的常數因子為1。我的第一個問題是：在步驟1中，我們放棄了天花板和地板。 這個對嗎 ？ 第二個問題是我如何擺脫常數因子1？ 我會掉嗎？ 或者我應該將其命名為d並證明n-1的確是n（如果是，我如何證明它？）。 最后，用替代方法證明它更好嗎？

編輯：如果我們使用替換方法，我們得到：

  We guess that the solution is O(n). We need to show that T(n) <= cn.
  Substitutting in the recurrence we obtein 
  T(n) <= c(floor[n/2]) + c(ceil[n/2]) + n/2 - 1 = cn + n/2 - 1 

那么這不是合並排序嗎？ 我想念什么？

Answer 1

很久以前，但是這里

步驟1，我們放下了天花板和地板。 這個對嗎 ？

我寧願說

T(floor(n/2)) + T(floor[n/2)) <= T(floor(n/2)) + T(ceil[n/2)) 
T(floor(n/2)) + T(ceil[n/2)) <= T(ceil(n/2)) + T(ceil[n/2)) 

如果它們不相等，它們相差1（您可以忽略任何常數）

第二個問題是我如何擺脫常數因子1？

你無視它。 其背后的原因是：即使常數為10 ^ 100，即使n變大，常數也會很小。 在現實生活中，您不能真正忽略真正的大常數，但這就是現實生活和理論的不同之處。 在任何情況下，1的差異最小。

最后最好用替代法證明

您可以證明自己的喜好，有些只是簡單一些。 越簡單通常越好，但是其他的“更好”毫無意義。 所以我的回答是不。