求解遞推關系 T(n) = n*T(n - 1) + n! (n > 0, T(0) = 2)

Question

有人可以使用回代來解決上面提到的遞推關系和漸近時間復雜度嗎？ 我知道解決它的大師定理方法，但我不知道如何使用反向替換獲得該答案。

Answer 1

只是為了擴展：

T(n) = n*((n-1)*T(n-2) + (n-1)!) + n! =
       n*(n-1)*T(n-2) + n! + n!       =
       n*(n-1)*T(n-2) + 2 * n!        =
       n*(n-1)*((n-2)*T(n-3) + (n-2)!) + 2n! = 
       n*(n-1)*(n-2)*T(n-3) + 3 * n!

通過歸納，你可以證明：

T(n) = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * T(2) + (n-2) * n!

我們知道T(0) = 2和T(2) = 2 T(1) + 2! = 2 * (T(0) + 1) + 2 = 8 T(2) = 2 T(1) + 2! = 2 * (T(0) + 1) + 2 = 8 ：

T(n) = 4 * n! + (n-2) * n! = (n+2) * n! = (n+1)! + n! = \Theta((n+1)!)