求解遞歸關系：T（n）= 3T（n / 5）+ lgn * lgn

Question

Consider the following recurrence
T(n) = 3T(n/5) + lgn * lgn

What is the value of T(n)?

(A) Theta(n ^ log_5{3})
(B) Theta(n ^ log_3{5})
(c) Theta(n Log n )
(D) Theta( Log n )

Answer is (A)

我的方法：

lgn * lgn = theta（n）因為c2lgn <2 * lglgn <c1 * lgn對於某些n> n0

上圖不等式如圖所示，c2 = 0.1，c1 = 1

log_5 {3} <1，

因此，通過主定理，答案必須是theta（n），並且沒有一個答案匹配。 如何解決這個問題呢？？

Answer 1

你聲稱lg n * lg n =Θ（n）是假的。 請注意，當n變為無窮大時，（lg n） ² / n的極限趨於0。 你可以使用l'Hopital的規則看到這個：

lim _n→∞ （lg n） ² / n

= lim _n→ ∞2lg n / n

= lim _n→∞2 / n

= 0

更一般地，使用類似的推理，您可以證明對於任何ε> 0，lg n = o（ ^nε ）。

讓我們嘗試使用主定理解決這種復發。 我們看到有三個子問題，每個大小為n / 5，所以我們應該看一下log ₅的值。由於（lg n） ² = o（n ^{log ₅ 3} ），我們看到遞歸是重底的並且可以得出結論，遞推求解為O（n ^{log ₅ 3} ），這是上面列表中的答案（A）。

希望這可以幫助！

Answer 2

要應用主定理，我們應該檢查它們之間的關系

n ^{log ₅ （3）} 〜= n ^0.682和（lg（n）） ²

不幸的是lg（n） ² ！= 2 * lg（n）：它是lg（n ² ）等於2 * lg（n）

此外，在主定理中，如果f（n）為O（n ^{log _b （a）-ε} ），或者代之以Θ（n ^{log _b a} ），則存在很大差異：如果前者成立，我們可以應用案例1，如果后者持有定理的情況2。

只需一眼，它看起來非常不可能（lg（n）） ² =Ω（n = ^0.682 ），所以讓我們試着證明（lg（n）） ² = O（n ^0.682 ），即：

∃N _0，C∈N ^+，使得對於n> N ^{_{0，（LG（N））2}} <C * N ^0.682

讓我們取兩邊的平方根（假設n> 1，不等式成立）

lg（n）<c ₁ * n ^0.341 ，（其中c ₁ = sqrt（c））

現在我們可以假設，lg（n）= log ₂ （n）（否則乘法因子可以被我們的常數吸收 - 正如你所知，常數因子在漸近分析中無關緊要）並且指數化兩邊：

2 ^lg（n） <2 ^{c ₂ * n 0.341} <=> n <2 ^{c ₂ * n 0.341} <=> n <（n ^{2 0.341} ） ^{c ₂} <=> n <（n ^{2 0.341} ） ^{c ₂} <=> n <（n ^1.266 ） ^{c ₂}

選擇c ₂ = 1和n ₀ = 1時，這是立即成立的

因此，確實f（n）= O（n ^{log _b （a）-ε} ），我們可以應用主定理的情況1，並得出結論：

T（n）= O（n ^{log ₅ 3} ）

同樣的結果，更正式一點。