如何解决此递归关系：T（n）= 4 * T（sqrt（n））+ n

Question

我知道如何使用主方法解决递归关系。 我也知道如何解决以下重复问题：

T（n）= sqrt（n）* T（sqrt（n））+ n

T（n）= 2 * T（sqrt（n））+ lg（n）

在以上两个重复中，递归树的每个级别上的工作量相同。 递归树中总共有log log n个级别。

我在解决这一问题时遇到了麻烦：T（n）= 4 * T（sqrt（n））+ n

编辑：这里n是2的幂

Answer 1

假设n = 2 ^ k。 我们有T（2 ^ k）= 4 * T（2 ^（k / 2））+ 2 ^ k。 令S（k）= T（2 ^ k）。 我们有S（k）= 4S（k / 2）+ 2 ^ k。 通过使用Mater定理，我们得到S（k）= O（2 ^ k）。 由于S（k）= O（2 ^ k）并且S（k）= T（2 ^ k），因此T（2 ^ k）= O（2 ^ k）这意味着T（n）= O（n）。

Answer 2

我在解决这一问题时遇到了麻烦：T（n）= 4 * T（sqrt（n））+ n

编辑：这里n是2的幂

此编辑很重要。 因此，可以说递归在2处停止。

因此，现在的问题是递归树的深度。 好吧，这是您可以在n变得足够小（例如，小于2）之前取n的平方根的次数。 如果我们写

n = 2 ^{lg n}

那么在每个递归调用中n都会取其平方根。 这等效于将上述指数减半，因此经过k次迭代，我们得到了

n ^{1 /（2 k ）} = 2 ^{lg n /（2 k ）}

我们想在小于2时停止

2 ^{lg n /（2 k ）} = 2

lg n /（2 ^k ）= 1

lg n = 2 ^k

lg lg n = k

因此，在平方根的所有迭代之后，递归停止。 （ 来源 ）

对于每次递归，我们将有4个新分支，分支的总数为4 ^（树的深度），因此为4^(lg lg n) 。

编辑 ：

资源

Answer 3

   T(n) = 4 T(sqrt(n)) + n
   4 [ 4 T(sqrt(sqrt(n) + n ] + n
   4^k * T(n^(1/2^k)) +kn because n is power of 2.
   4^k * T(2^(L/2^k)) +kn   [  Let n = 2^L , L= logn]
   4^k * T(2) +kn   [  Let L = 2^k,  k = logL = log log n]
   2^2k * c +kn
   L^2 * c + nloglogn 
   logn^2 * c + nloglogn
   = O(nloglogn)

Answer 4

T(n) = 4T(√n) + n 
suppose that (n = 2^m) . so we have :
T(2^m) = 4T(2^(m/2)) + (2^m)
now let name T(2^m) as S(m):
S(m) = 4S(m/2) + m . now with master Method we can solve this relation, and the answer is :
S(m) = Θ(m^2) 
now we step back to T(2^m):
T(2^m) = Θ((2^m)^2)
now we need m to solve our problem and we can get it from the second line and we have :
n = 2^m   =>   m=lgn 
and the problem solved .
T(n) = Θ((2^lgn)^2)
T(n) = Θ(n^2)