如何解決此遞歸關系：T（n）= 2T（n / 2）+1

Question

我對此遞歸關系感到麻煩。

T（n）= 2T（n / 2）+ 1

誰能幫助我解釋如何解決這個問題以獲得O(n)的答案？

Answer 1

為簡單起見，我們假設n是2的冪。例如，如果n = 8且基本情況T(0) = 0則遞歸調用樹如下所示：

                       1                                n = 8, depth 0
                      / \
                     /   \
                    /     \
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                 /           \
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            /                     \
           1                       1                    n = 4, depth 1
          / \                     / \
         /   \                   /   \
        /     \                 /     \
       /       \               /       \
      /         \             /         \
     1           1           1           1              n = 2, depth 2
    / \         / \         / \         / \
   /   \       /   \       /   \       /   \
  1     1     1     1     1     1     1     1           n = 1, depth 3
 / \   / \   / \   / \   / \   / \   / \   / \
0   0 0   0 0   0 0   0 0   0 0   0 0   0 0   0         n = 0, depth 4

該樹具有log(n) + 1級別（不計算最低級別），因為此級別中的每個節點的成本為0 。 為了計算T(n) ，在這種情況下為T(8) ，您必須將樹中的所有值相加。

注意，在深度i上有2^i節點，每個節點的成本等於1 。

因此，樹中的總和的公式為：

sum [from i = 0 to log(n)] 2^i

這是a_1 = 1且q = 2的幾何級數，您想知道第一個log(n) + 1值的總和。 這由公式給出：

(1 - 2^(log(n) + 1)) / (1 - 2) = 2n - 1

因此，對於n = 8 ，結果為15 。

我希望這可以幫助你。

Answer 2

在Cormen等人的“算法介紹”中對這種關系做了很好的解釋。 那本書中的主定理4.1對待所有遞歸關系，形式為T（n）= aT（n / b）+ f（n）。 對於f，a和b的各種組合。 該定理中的一種情況，即情況2，可以應用於您的示例，給出O（n）估計。 因此，要回答您的問題，您不能僅僅通過執行一些常規計算以漸近線的形式解決此類關系，而是觀察到您的情況屬於存在估計的關系類。

Answer 3

使用Master定理可解決這種遞歸問題。

在您的情況下， a = 2 ， b = 2且f(n) = 1 。 因此c = log2(2) = 1且O(n^1) > O(1) ，這意味着我們屬於第三種情況，因此復雜度為O(n) 。