如何解决递归T（n）= T（n-1）+…T（1）+1？

Question

我需要找到涉及递归的算法的复杂性：

T(n) = T(n-1) + ... + T(1) + 1

T(n)是解决大小为n的问题所花费的时间。

主方法不适用于此处，我无法猜测使用替代方法（无论如何我都不想使用替代方法）。 我剩下的是递归树方法。

由于每个节点的子节点数量不是恒定的，因此我很难跟踪每个节点的贡献量。 潜在的模式是什么？

我知道我必须找到树中的节点数，其中每个节点（ k ）的子节点都有从1到k-1编号的所有节点。

给定该公式，是否还可以找到准确的时间T(n) ？

Answer 1

由于T(n-1) = T(n-2) + ... + T(1) + 1

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + ... + T(1) + 1
     = T(n-1) + T(n-1)
     = 2*T(n-1)

和T(1) = 1 => T(n) = 2^(n-1)