如何使用展开方法求解这个递归方程 T(n) = T(n-1)+n^2？

Question

我尝试解决这个方程：

T(n) = T(n-1) + n^2 对于 n>1

T(1) = 1 对于 n=1初始值

知道： ^2 的 i=0 和 i=n-1 之间的 Σ = (+1)(2+1)/6

我进行如下：

T(n-1) = T(n-2) + (n-1)^2

T(n-2) = T(n-3) + (n-2)^2

T(n-3) = T(n-4) + (n-3)^2 ecc...

T(n) = T(n-4) + (n-3)^2 + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2

T(n) = T(1) +... + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 = = 1 + Σ(ni)^2 = 1 + Σ(n^ 2 - 2in +i^2) = i 介于 0 和 n-1 之间

= 1 + n^2 - 2nΣi + Σi^2 = =~ 1 + n^2 - 2n*(n-(n-1)+n-(n-2)+...+n-2+n- 1) + n(n+1)(2n-1)/6

在最后一段中，我用给定的 Σ 改变了...

T(n) =~ 1 + n^2 - 2n(an-b) + (2n^3 + 3n^2 + n)/6 =~ O(n^3)

基本上我忽略了n的所有微不足道的权力，但我不确定这是否是合法的事情......

Answer 1

当您知道Σ i^2 for i=0 to i=n-1等于(+1)(2+1)/6时，您可以 state 大 O 项的时间复杂度为O(n^3) 。

由于(+1)(2+1)/6 = (2^3+n^2+2^2+n)/6 ，您删除了所有常数和n的低幂（是的，这在大 O 计算中是合法的对于非常大的数字，与最高功率变量产生的值相比，它们的值可以忽略不计），并得到O(n^3) 。