通過“ T（n-1）”形式的遞歸樹求解遞歸關系

Question

我知道主定理和遞歸樹可用於“分而治之”遞歸關系（即T（n）= T（n / 2）+1 ）。

但是，如何將這些概念應用於T（n）= T（n-1）+ logn？

據我了解，您不能將這兩個概念應用於（n-1）個減量。 但是作業和教授要求使用遞歸樹和主定理求解T（n）= T（n-1）+ logn。

此外，是否有任何理由說明以下內容不是上述功能的遞歸擴展？

T(n)=T(n-3)+log(n-2)+log(n-1)+log(n)

根據我的教授，它不應該是log（n-2）和log（n-1），而應該是

T(n)=T(n-3)+logn+logn+logn

這對我來說絕對沒有意義。

Answer 1

以下是主定理的減法形式：

如果T（n）= aT（nc）+ g（n）其中c> = 1且g（n）= Theta（n ^ k）且k> = 0，則

• 如果a <1，則T（n）= Theta（n ^ k）
• 如果a = 1，則T（n）= Theta（n ^ {k + 1}）
• 如果a> 1，則T（n）= Theta（a ^ {n / c}）

它不包括您要求的特殊情況，而是陳述了減量的一般結果。

Answer 2

兩件事情，

1. 遞歸定義指出，再次調用T(n)時必須將n替換為n-1 ，因此對於T(n)=T(n-3)+log(n-2)+log(n-1)+log(n)

2. 您可以輕松地得出log(1) + log(2) + log(3) + ... log(n) = log(n!) = Theta(nlogn)以及log(n) + log(n) + log(n) ... + log(n) = nlog(n) = Theta(nlog(n))

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial#Rate_of_growth_and_approximations_for_large_n

http://en.wikipedia.org/wiki/斯特林％27s_approximation

要把它看成一棵樹，實際上只是一棵最壞情況下的樹，即

這是因為在每個調用中，只有一個子問題需要解決。