通过“ T（n-1）”形式的递归树求解递归关系

Question

我知道主定理和递归树可用于“分而治之”递归关系（即T（n）= T（n / 2）+1 ）。

但是，如何将这些概念应用于T（n）= T（n-1）+ logn？

据我了解，您不能将这两个概念应用于（n-1）个减量。 但是作业和教授要求使用递归树和主定理求解T（n）= T（n-1）+ logn。

此外，是否有任何理由说明以下内容不是上述功能的递归扩展？

T(n)=T(n-3)+log(n-2)+log(n-1)+log(n)

根据我的教授，它不应该是log（n-2）和log（n-1），而应该是

T(n)=T(n-3)+logn+logn+logn

这对我来说绝对没有意义。

Answer 1

以下是主定理的减法形式：

如果T（n）= aT（nc）+ g（n）其中c> = 1且g（n）= Theta（n ^ k）且k> = 0，则

• 如果a <1，则T（n）= Theta（n ^ k）
• 如果a = 1，则T（n）= Theta（n ^ {k + 1}）
• 如果a> 1，则T（n）= Theta（a ^ {n / c}）

它不包括您要求的特殊情况，而是陈述了减量的一般结果。

Answer 2

两件事情，

1. 递归定义指出，再次调用T(n)时必须将n替换为n-1 ，因此对于T(n)=T(n-3)+log(n-2)+log(n-1)+log(n)

2. 您可以轻松地得出log(1) + log(2) + log(3) + ... log(n) = log(n!) = Theta(nlogn)以及log(n) + log(n) + log(n) ... + log(n) = nlog(n) = Theta(nlog(n))

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial#Rate_of_growth_and_approximations_for_large_n

http://en.wikipedia.org/wiki/斯特林％27s_approximation

要把它看成一棵树，实际上只是一棵最坏情况下的树，即

这是因为在每个调用中，只有一个子问题需要解决。