如何從 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 得到 O(nlogn)

Question

嗨，我正在研究算法，我有一個關於在不使用主定理的情況下獲得 O(nlogn) 的問題。

我很難得到 O(nlogn)..

有誰知道從 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 得到 O(nlogn) 的數學方法？

謝謝

Answer 1

注意模式（簡化一點，最好保持O(n)而不是n ）：

T(n) = 2T(n/2) + n
     = 2(2T(n/4) + n/2) + n  = 4T(n/4) + n + n  = 4T(n/4) + 2n
     = 4(2T(n/8) + n/4) + 2n = 8T(n/8) + n + 2n = 8T(n/8) + 3n
     = 8(2T(n/16) + n/8)+ 3n = 8T(n/16)+ n + 3n = 16T(n/16) + 4n
     ...                                        = 32T(n/32) + 5n
     ...
                                                = n*T(1) + log2(n)*n
                                                = O(n*log2(n))

Answer 2

繪制遞歸樹：

樹的高度將為 log n

每個級別的成本將是 n 的常數倍

因此總成本將為 O(nlogn)。 http://homepages.ius.edu/rwisman/C455/html/notes/Chapter4/RecursionTree.htm

如果你願意，你總是可以通過歸納來證明它。

Answer 3

對於任何仍在弄清楚如何繪制遞歸樹的人：

圖像：T(n) = 2T(n/2) + O(n) 算法的遞歸樹

如下畫一棵樹，我們可以看到每次除以2，直到我們的葉子等於1

n/2^k = 1 
2^k = n 
k= log(n)

以上陳述證明我們的樹具有log(n)的深度。

在每個級別，我們都會執行一個花費 O(n) 的操作。

即使我們每次除以 2，我們仍然對兩個部分進行操作，因此我們在每個級別都有n次迭代。

由於我們執行它的次數等於我們的深度，因此產生的復雜度為O(nlog(n)) 。

另外，請查看此視頻教程https://youtu.be/1K9ebQJosvo