求解T(n)=2T(n/2)+nlogn的運行時間

Question

我試圖以某種方式解決這個問題，我已經知道它的復雜性是 BigTheta(nloglogn) ，但如果我執行以下操作，我不會得到相同的答案：

let m = logn
then n = 2^m
we get T(2^m) = 2T(2^(m-1))+(2^m)*m
multiply by 1/(2^m)
we get T(2^m)/2^m = 2T(2^(m-1))/2^m + m
= T(2^(m-1))/(2^(m-1)) + m

現在，如果我讓S(m)=T(2^m)/2^m我將有S(m)=S(m-1)+m 。

現在我用回代法求解S(m)=S(m-1)+m 。

S(m) = S(m-1)+m=S(m-2)+(m-1)+m = S(m-3)+(m-2)+(m-1)+m = S(m-4)+(m-3)+(m-2)+(m-1)+m=... = S(m-k)+(m-k+1)+..+(m-3)+(m-2)+(m-1)+m = ... = S(1)+2+...+m = m(m-1)/2 = BigTheta(m^2)

BigTheta((logn)^2)回m=logn並且我得到BigTheta((logn)^2)這不一樣。

Answer 1

你遵循了正確的方法，我的朋友。 不過有一個小錯誤。

S(m) = S(m-1) + m

這是正確的，我們得到S(m) = BigTheta(m^2) 。

現在S(m) = T(2^m)/(2^m) = BigTheta(m^2) 。 這意味着T(2^m) = T(n) = (2^m) * BigTheta(m^2) 。

放回我們得到的值T(n) = n*BigTheta(lognlogn) = BigTheta(n*lognlogn)

Answer 2

好的，所以這里的錯誤在這一行：

現在，如果我讓S(m)=T(2^m)/2^m我將有S(m)=S(m-1)+m 。

事實上，如果你讓S(m)=T(2^m)/2^m ，那么你將有S(m)=2S(m-1)+m ，因為除以2^(m-1) 。

通過此更正，我們有：

S(m) = 2S(m - 1) + m
     = 2S(2S(m - 2) + m) + m
     = 4S(m - 2) + (m − 1) + m
     = 4S(2S(m - 3) + (m - 2)) + (m − 1) + m
     = 8S(m - 3) + (m - 2) + (m - 1) + m

這給了我們一般的形式：

S(m) = 2^m S(0) + m(m+1)/2

重新插入，我們有：

T(2^m) = 2^m T(0) + m(m+1) 2^(m-1)

然后我們可以重新插入 n：

T(n) = nT(1) + n/2 (logn)(1 + logn) = O(n(logn)^2)