如何使用遞歸求解T（n）= 5T（n / 2）+ O（nlogn）

Question

所以這可能很愚蠢，但我堅持使用這種遞歸T(n) = 5T(n/2) + O(nlogn) 。 我從定理大師那里知道那應該是 ，但我無法真正到達那里。

到目前為止，我到了

我只是想知道我是否朝着正確的方向前進

Answer 1

您在這里肯定走對了！ 讓我們看看是否可以簡化該求和。

首先，請注意，您可以從求和中提取log n項，因為它與和無關。 那給了我們

（n log n）（從k = 0到lg n（5/2） ^k的總和）

該總和是一個幾何級數的總和，因此它可以解決

（（5/2） ^{對數n +} 1-1）/（5/2-1）

= O（（5/2） ^{lg n} ）

在這里，我們可以使用（可愛的）標識^{log _b c} = c ^{log _b a}來重寫

O（（5/2） ^{lg n} ）= O（n ^{lg 5/2} ）

= O（n ^{lg 5-1} ）

並將其重新插入我們的原始公式即可

n log n·O（n ^{lg 5-1} ）= O（n ^{lg 5} log n）。

嗯，那不是很有效。 不過，我們真的非常接近能在這里工作的東西！ 有一個很好的問題要問： 為什么這沒有用，為此，我們必須首先回到如何獲得原始匯總的位置。

讓我們嘗試使用遞歸方法擴展遞歸T（n）的幾個項。 第一次擴展給了我們

T（n）= 5T（n / 2）+ n log n。

下一個是讓事情變得有趣的地方：

T（n）= 5T（n / 2）+ n log n

= 5（5T（n / 4）+（n / 2）log（n / 2））+ n log n

= 25T（n / 4）+（5/2）log（n / 2）+ n log n

然后我們得到

T（n）= 25T（n / 4）+（5/2）對數（n / 2）+ n對數n

= 25（5T（n / 8）+（n / 4）log（n / 4））+（5/2）log（n / 2）+ n log n

= 125T（n / 8）+（25/4）n log（n / 4）+（5/2）log（n / 2）+ n log n

這里的一般模式似乎是以下總和：

T（n）=從i = 0到lg n（5/2） ^k n lg（n / 2 ^k ）的和

=從i = 0到lg n的n加和（5/2） ^k lg（n / 2 ^k ）

請注意，這不是您的原始金額！ 特別要注意的是，對數術語不是log n，而是一個比其增長慢得多的函數。 實際上，隨着k變大，對數項變得越來越小。 實際上，如果您考慮一下，我們真正要支付全部lg n成本的唯一時間就是k = 0時。

這是一個可愛的小技巧，我們可以使用它來使此總和更容易使用。 log函數的增長非常非常非常緩慢，實際上，我們可以說對於任何ε> 0，log n = o（ ^nε ）。因此，如果嘗試通過替換lg（ n / 2 ^k ）與（n / 2 ^k ） ^ε對應一些很小但為正的ε？ 好吧，那我們就會

T（n）=從i = 0到lg的n總和（5/2） ^k lg（n / 2 ^k ）

= O（n從i = 0到lg n（5/2） ^k （n / 2 ^k ） ^ε的總和^）

= O（N從i求和= 0向LG ^{N（5/2）K Nε（1 /ε）k）的}

= O（n ^{1 +ε}從i = 0到lg n（5/2 ^{1 +ε} ）的總和）

這似乎看起來像是一種魔術，但是這種技術-用微小的微小多項式代替原木-是一種可以放在后腰的好方法。 它傾向於在很多情況下出現！

我們這里使用的表達式可能看起來比我們開始時的表達式差很多，但是它將會變得更好。 假設我們選擇ε足夠小-例如，使得^{5/2 1 +ε}大於1。 然后，該內部求和再次是一個幾何級數的和，因此我們將其簡化為

（（（5/2 ^{1 +ε} ） ^{lg n +} 1-1）/（5/2 ^{1 +ε} -1）

= O（（5/2 ^{1 +ε} ） ^{lg n} ）

= O（n ^{lg（5/2 1 +ε ）} ） （使用之前的技巧）

= O（n ^{lg 5-1-ε} ）

太好了，因為那時我們的整體運行時

T（n）= O（n ^{1 +εn lg 5-1-ε} ）

= O（n ^{lg 5} ） ，

並且您有上限！

總結一下：

• 使用幾何級數和的公式以及^{log _b c} = c ^{log _b a}的怪異標識，可以簡化原始求和。

• 但是，這不會給您一個嚴格的上限，因為您的原始求和與從遞歸方法中獲得的略有不同。

• 通過使用遞歸方法重復進行分析，您可以獲得更小的總和，但是卻很難評估。

• 我們可以通過使用對任何ε> 0的log n = o（ ^nε ）來簡化求和，並使用該值重新調整總和以使其更易於操作。

• 通過這種簡化，我們基本上使用與以前相同的技術來重做分析-幾何級數的總和，交換指數和對數中的項-以得出結果。

希望這可以幫助！