如何解決：T（n）= T（n - 1）+ n

Question

我得到以下結論：

T(n) = T(n - 1) + n = O(n^2)

現在，當我解決這個問題時，我發現邊界非常寬松。 我做錯了什么或是這樣嗎？

Answer 1

您還需要一個基於重復關系的基礎案例。

T(1) = c
T(n) = T(n-1) + n

要解決這個問題，您可以先猜測一個解決方案，然后使用歸納法證明它是有效的。

T(n) = (n + 1) * n / 2 + c - 1

首先是基礎案例。 當n = 1時，根據需要給出c。

對於其他n：

  T(n)
= (n + 1) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) + 2) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) * n / 2) + (2 * n / 2) + c - 1
= (n * (n - 1) / 2) + c - 1) + (2 * n / 2)
= T(n - 1) + n

所以解決方案有效。

要獲得猜測，請注意當c = 1時，您的遞歸關系會生成三角形數字 ：

T(1) = 1:

*

T(2) = 3:

*
**

T(3) = 6:

*
**
***

T(4) = 10:

*
**
***
****

etc..

直觀地，三角形大約是正方形的一半，並且在Big-O表示法中，常數可以被忽略，因此O（n ^ 2）是預期的結果。

Answer 2

想一想：
在遞歸的每次“迭代”中，您執行O（n）工作。
每次迭代都有n-1個工作要做，直到n =基本情況。 （我假設基本情況是O（n）工作）
因此，假設基本情況是n的常量獨立，則存在遞歸的O（n）次迭代。
如果每次都有n次迭代的O（n）工作，則O（n）* O（n）= O（n ^ 2）。
你的分析是正確的。 如果您想了解有關這種求解遞歸的更多信息，請查看遞歸樹。 與其他方法相比，它們非常直觀。

Answer 3

這個解決方案非常簡單。 您必須展開遞歸：

T(n) = T(n-1) + n = T(n-2) + (n - 1) + n = 
= T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n = ... =
= T(0) + 1 + 2 + ... + (n-1) + n 

你在這里有算術級數，總和是1/2*n*(n-1) 。 從技術上講，這里缺少邊界條件，但是在任何常量邊界條件下，您會看到遞歸為O(n^2) 。

Answer 4

看起來是正確的，但將取決於基本情況T（1）。 假設您將執行n步驟以使T（n）變為T（0）並且每次n項在0和n之間的任何位置，平均為n / 2，因此n * n / 2 =（n ^ 2）/ 2 = O（n ^ 2）。