如何遞歸地求解T（n）= 5T（n / 2）+ n ^ 2，T（1）= 2

Question

如何在不使用主定理的情況下喜歡T（n）= 5T（n / 2）+ n ^ 2，T（1）= 2的漸近上界。

這是我的步驟，但我不知道如何處理最后的求和，因此找不到這個遞歸函數的大O答案。

T(n) = 5T(n/2) + n^2
     = 5^2 T(n/2^2) + 5(n/2)^2 + n^2
     = 5^3 T(n/2^3) + 5^2(n/2^2)^2 + 5(n/2)^2 + n^2
     = ...
     = 5^i T(n/2^i) + 5^i(n/2^i)^2 + ...+ 5^2(n/2^2)^2 + 5(n/2)^2 + n^2
     = 5^i T(n/2^i) + n^2 Sum of k from 0 to i, (5/4)^k

如何處理總結？ 謝謝。

Answer 1

如何處理總結？

你在總和中描述的是幾何級數 [wiki] 。 這種形式的總和：

 n
---
\     i
/    a
---
i=0

有一個已知的解決方案

 n
---           n+1
\     i      a    - 1
/    a     = --------
---            a - 1
i=0

所以這里你的總和：

k的總和從0到i，（5/4）^ k

等於：

4 * ((5/4)^(i+1) - 1)

我們知道i僅限於log ₂ n ，這應該足以解決這個等式。