如何求解：T(n) = T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + (n)

Question

我知道如何為只調用自己一次的算法做遞歸關系，但我不確定如何做一次多次調用自己的事情。

例如：

T(n) = T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + (n)

Answer 1

使用遞歸樹。 請參閱 CLRS“算法簡介”中遞歸樹的最后一個示例。

T(n) = T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + n。 根將是 n(cost) & 分為 3 個遞歸。 所以遞歸樹如下所示：

T(n) = n = n T(n/2)T(n/4)T(n/8) (n/2) (n/4) (n/8) T(n/4)T(n /8)T(n/16) T(n/8)T(n/16)T(n/32) T(n/16)T(n/32)T(n/64)

                                             n---------------------------------> n      

                             (n/2)         (n/4)           (n/8)--------------> (7/8)n

                         n/4 n/8 n/16  n/8 n/16 n/32  n/16 n/32 n/64)--------> (49/64)n
                                            ...         

最長路徑：最左邊的左分支 = n -> n/2 -> n/4 -> ... -> 1

最短分支：最右邊的右分支 = n -> n/8 -> n->64 -> ... -> 1

葉子數(l)：3^log_8(n) < l < 3^log_2(n) => n^0.5 < l < n^1.585

看看樹 - 到 log_8(n) 層，樹已經滿了，然后隨着我們往下走，越來越多的內部節點不存在。 根據這個理論，我們可以給出界限，

T(n) = Big-Oh（總和 j=0 到 log_2(n)-1 (7/8)^jn) = ... => T(n) = O(n)。 T(n) = Big-Omega（總和 j=0 到 log_8(n)-1 (7/8)^jn) = ... => T(n) = Big-Omega(n)。

因此，T(n) = Theta(n)。

這里的要點是：T(n/2) 路徑的長度最長......

這一定不是一個完整的三叉樹...高度 = n 的對數基數 2 & # 的葉子必須小於 n ...

希望，可能這樣你可以解決問題。

Answer 2

有兩種方法可以解決這個問題。 一種是展開遞歸並找到相似之處，這可能需要創造性並且非常困難。 另一種方法是使用Akra-Bazzi 方法。

在這種情況下， g(x) = n ， a1 = a2 = a3 = 1和b1 = 1/2 ， b2 = 1/4 ， b3 = 1/8 。 求解方程

即1/2^p + 1/4^p + 1/8^p = 1你得到p = 0.87915 。 解決積分你會得到 ，這意味着復雜度為： O(n)

Answer 3

請參閱圖片以獲得更好的解釋-

樹的高度：我們采用 log(n)(base 2)，因為與 n/4 和 n/8 相比，n/2 使樹更長。 我們的 GP 系列將一直持續到 k=logn(base)。

Answer 4

正如CLRS所說， T(n)可以通過數學歸納法替換為cn 。 這個歸納假設適用於n以下的數字。 如上所述，我們需要證明的是參數值為n。 因此，如下： 假設： T(n) <= cn對於小於n的數； 得出結論：

T(n) = T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + n
    <= c/2*n + c/4*n + c/8*n + n
     = (7/8*c + 1) * n
    <= cn (when c >= 8)

就這樣。

Answer 5

就像編寫斐波那契數列（困難的方式）作為示例一樣，您只需鍵入以下內容：

 long fib(long n){ if(n <= 1) return n; else return fib(n-1) + fib(n-2); }

或者，更好的是，使用全局變量記住它以使其更快。 再一次，使用斐波那契數列：

 static ArrayList<Long>fib_global = new ArrayList(1000); //delcare a global variable that can be appended to long fib(long n){ if(n >= fib_global.length)fib_global.add(fib(n-1) + fib(n-2)); return fib_global.get(n); }

代碼一次只會執行其中一個調用，並且很可能按照您輸入的從左到右的順序，這樣您就不必擔心需要執行的次數叫什么。