T(n) = T(n/10) + T(an) + n，如何解決？

Question

更新：我仍在尋找不使用外部資源的解決方案。

鑒於： T(n) = T(n/10) + T(an) + n對於某些a ，並且： T(n) = 1 if n < 10 ，我想檢查以下是否可能（對於某些a值，我想找到盡可能小的a ):

such that for every , 對於每個c > 0有使得對於每個 ，

我試圖一步一步地打開函數聲明，但它變得非常復雜，我被卡住了，因為我看不到任何進展。

這是我所做的：（抱歉添加了圖片，那是因為我在 word 上寫了很多，無法將其粘貼為文本）

請問有什么幫助嗎？

Answer 1

調用Akra–Bazzi ，g(n) = n¹，所以臨界指數是 p = 1，所以我們想要 (1/10)¹ + a¹ = 1，因此 a = 9/10。

直觀地說，這就像歸並遞歸：每次調用都有線性開銷，如果我們不減少子問題的總大小，我們將在運行時間中得到一個額外的日志（這將超過任何常數 c） .

Answer 2

另一個角度：繪制一個遞歸樹並計算每個級別完成的工作。 樹的每一層所做的工作將是 (1/10 + a) 與其上一層所做的工作一樣多。 （你明白為什么嗎？）

如果 (1/10 + a) < 1，這意味着每級的功在幾何上衰減，因此所做的總功將與 n 的某個常數倍數相加（其領先系數取決於 a）。 如果 (1 / 10 + a) ≥ 1，則每一層所做的工作保持不變或從一層增長到下一層，所以現在完成的總工作（至少）取決於樹中的層數，即是 Θ(log n) 是因為子問題的大小從一層到下一層以一個常數下降，並且這種情況不會發生超過 Θ(log n) 次。 因此，一旦 (1 / 10 + a) = 1，您的運行時間突然變為 Ω(n log n) = ω(n)。

（這基本上是主定理背后的推理，只是應用於非均勻子問題的大小，這就是 Akra-Bazzi 定理的來源。）

Answer 3

要求：

對於每個 c > 0 有 n0 > 0 使得對於每個 n > n0，T(n) >= c*n

通過代入不等式中的遞歸並求解 a，您將得到：

T(n) >= c*n

(c*n/10) + (c*a*n) + n >= c*n 

a >= 0.9 - (1/c)

由於我們期望的結果是針對所有 c（將 c 視為無窮大），因此我們得到 a >= 0.9。 因此，最小值a是0.9，這將滿足T(n) >= c*n為所有的C。