如何解决：T（n）= T（n - 1）+ n

Question

我得到以下结论：

T(n) = T(n - 1) + n = O(n^2)

现在，当我解决这个问题时，我发现边界非常宽松。 我做错了什么或是这样吗？

Answer 1

您还需要一个基于重复关系的基础案例。

T(1) = c
T(n) = T(n-1) + n

要解决这个问题，您可以先猜测一个解决方案，然后使用归纳法证明它是有效的。

T(n) = (n + 1) * n / 2 + c - 1

首先是基础案例。 当n = 1时，根据需要给出c。

对于其他n：

  T(n)
= (n + 1) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) + 2) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) * n / 2) + (2 * n / 2) + c - 1
= (n * (n - 1) / 2) + c - 1) + (2 * n / 2)
= T(n - 1) + n

所以解决方案有效。

要获得猜测，请注意当c = 1时，您的递归关系会生成三角形数字 ：

T(1) = 1:

*

T(2) = 3:

*
**

T(3) = 6:

*
**
***

T(4) = 10:

*
**
***
****

etc..

直观地，三角形大约是正方形的一半，并且在Big-O表示法中，常数可以被忽略，因此O（n ^ 2）是预期的结果。

Answer 2

想一想：
在递归的每次“迭代”中，您执行O（n）工作。
每次迭代都有n-1个工作要做，直到n =基本情况。 （我假设基本情况是O（n）工作）
因此，假设基本情况是n的常量独立，则存在递归的O（n）次迭代。
如果每次都有n次迭代的O（n）工作，则O（n）* O（n）= O（n ^ 2）。
你的分析是正确的。 如果您想了解有关这种求解递归的更多信息，请查看递归树。 与其他方法相比，它们非常直观。

Answer 3

这个解决方案非常简单。 您必须展开递归：

T(n) = T(n-1) + n = T(n-2) + (n - 1) + n = 
= T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n = ... =
= T(0) + 1 + 2 + ... + (n-1) + n 

你在这里有算术级数，总和是1/2*n*(n-1) 。 从技术上讲，这里缺少边界条件，但是在任何常量边界条件下，您会看到递归为O(n^2) 。

Answer 4

看起来是正确的，但将取决于基本情况T（1）。 假设您将执行n步骤以使T（n）变为T（0）并且每次n项在0和n之间的任何位置，平均为n / 2，因此n * n / 2 =（n ^ 2）/ 2 = O（n ^ 2）。