在 T(n)=O(n^f(n)) 的情況下，我可以在 f(n) 上應用 big-O 的屬性嗎？

Question

假設我們有一個復雜度為 T(n)=O[n^f(n)] 的算法。 例如： T(n) = O[n^(n^2-n+1)] 。

我可以像在 T(n) 上一樣在 f(n) 上應用 big-O 的屬性嗎？

即，我可以寫： T(n) = O[n^(n^2)]而不是T(n) = O[n^(n^2-n+1)]嗎？

Answer 1

不，例如 O(1)=O(2)，但 O(n^1) 是 O(n^2) 的真子集。 順便說一句，它甚至不適用於加法或乘法，因為 O 表示法不嚴格。

Answer 2

盡管您的情況有反例，但在以下條件下，您可以將f(n)替換為g(n) ，即T(n) = O(n^f(n))和f(n) = O(g(n)) ：

g(n) - f(n) > 0 for all n > 0

您可以查看您的示例，例如這種情況。 因此，如果條件成立，我們可以說T(n) = O(n^g(n)) 。

此外，當f(n) = Theta(g(n))時，您的情況不正確，如@Mo B.示例。 順便說一句，基於上述條件，我們可以在T(n) = O(n^f(n))中將f(n)替換為g(n) ) 。