求解递归：T(n)=3T(n/2)+n

Question

我需要找到 n 的递归解，如果T(n)=3T(n/2)+n for n>1 和 T(n)=1 否则为T(n)=3T(n/2)+n的幂。

使用替换n=2^m,S(m)=T(2^(m-1))我可以得到：

S(m)=2^m+3*2^(m-1)+3^2*2^(m-2)+⋯+3^(m-1) 2^1+3^m

但我不知道如何简单地做到这一点。

Answer 1

这些类型的递归最容易通过主定理来解决，用于分析算法，解释如下：

设a为大于或等于 1 的整数， b为大于 1 的实数， c为正实数。 鉴于形式的重复 -

T (n) = a * T(n/b) + n ^c其中 n > 1，然后对于n是b的幂，如果

1. Log _b a < c, T (n) = Θ(n ^c );
2. Log _b a = c, T (n) = Θ(n ^c * Log n);
3. Log _b a > c, T (n) = Θ(n ^{log _b a} )。

---

你复发的英文翻译

Master Theorem中最关键的是要理解递归中提到的常数a、b和c 。 让我们以您自己的循环为例 - T(n) = 3T(n/2) + n - 例如。

这种递归实际上是说它所代表的算法是这样的，

（解决一个大小为n的问题的时间）=（解决三个大小为n/2 的问题所花费的时间）+ n

最后的n是合并这3 n/2大小问题的结果的成本。

---

现在，直观地您可以理解：

• 如果“解决3个大小为n/2 的问题”的成本比“ n ”更重要，那么第一项将决定整体复杂度；
• 如果成本“ n ”比“解决3个大小为n/2的问题”更重要，那么第二项将决定整体复杂度； 和，
• 如果两个部分的权重相同，那么解决子问题并合并它们的结果将具有整体复合权重。

从以上三个直观的理解，只出现Master Theorem的三种情况。

---

在您的示例中，a = 3、b = 2 和 c = 1。因此它属于 case-3，因为 Log _b a = Log ₂ 3 大于 1（c 的值）。

因此，复杂性很简单 - Θ(n ^{log _b a} ) = Θ(n ^{log ₂ 3} ) 。

Answer 2

您可以使用 Masters 定理解决这个问题，也可以通过以下方式打开递归树：

• 在递归树的根部，您将拥有 n 的工作。
• 在第二阶段，树分裂成三个部分，每个部分的工作量是 n/2。
• 继续前进，直到到达叶子。 整个工作叶将是： O (1) = O (n / 2 ^ k) 当： n = 2 ^ k。
• 请注意，在每一步 m 有 3 ^ m 次拆分。
• 现在我们将使用几何级数和对数规则将所有步骤组合在一起。 最后你会得到：T(n) = 3T(n/2)+n = 2n^(log3)-2n的计算

Answer 3

请查看第 60 页http://www.cs.columbia.edu/~cs4205/files/CM2.pdf 。

也许你应该在这里问https://math.stackexchange.com/

Answer 4

像这样的问题可以使用Masters 定理来解决。

在你的情况下a = 3 ， b = 2和f(n) = n 。

因此c = log_b(a) = log_2(3)大于 1，因此您属于第一种情况。 所以你的复杂性是：

O(n^{log_2(3)}) = O(n^{1.58})