求出递归T（n）= T（n / 3）+ T（2n / 3）+ n ^ 2？

Question

我一直试图解决复发关系。

复发是T(n) = T(n/3)+T(2n/3)+n^2

我解决了复发n我得到它为T(n)=nT(1)+ [ (9/5)(n^2)( (5/9)^(log n) ) ]

谁能告诉我这个表达式的运行时间？

Answer 1

我认为这种复发可以达到Θ（n ² ）。 为了看到这一点，我们将证明T（n）=Ω（n ² ）并且T（n）= O（n ² ）。

显示T（n）=Ω（n ² ）非常简单 - 因为T（n）中有一个n ²项，它肯定是Ω（n ² ）。

现在让我们说明T（n）= O（n ² ）。 我们有

T（n）= T（n / 3）+ T（2n / 3）+ n ²

考虑另一个重复：

S（n）= S（2n / 3）+ S（2n / 3）+ n ² = 2S（2n / 3）+ n ²

由于T（n）增加且T（n）≤S（n），因此S（n）的任何上限也应该是T（n）的上限。

使用S（n）上的主定理，我们得到a = 2，b = 3/2，并且c = 2.由于log _b a = log _3/2 2 = 1.709511291 ... <c，主定理说这将解决O（n ² ）。 由于S（n）= O（n ² ），我们也知道T（n）= O（n ² ）。

我们已经证明T（n）=Ω（n ² ）并且T（n）= O（n ² ），因此T（n）=Θ（n ² ），如所需要的。

希望这可以帮助！

（顺便说一下 - （ ^5/9 ） ^{log n} =（2 ^{log 5/9} ） ^{log n} = 2 ^{log n log 5/9} =（2 ^{log n} ） ^{log 5/9} = n ^{log 5/9} 。这使它成为^现实有点容易推理。）

Answer 2

人们无法从T(n)或时间复杂度来判断运行时间！它只是根据输入（n）的顺序估计运行时间。

我想补充的一件事是： -

我没有解决你的递归关系，但要记住你的派生关系是正确的，因此进一步把n = 1，在你给定的递归关系中，我们得到

 T(1)=T(1/3)+T(2/3)+1

所以，你要么在你的问题中提供T(1/3)和T(2/3)的值，要么你必须从给定的问题陈述中理解河内塔的T(1)应该是什么问题！

对于重复，基本情况是T(1) ，现在根据定义它的值如下：

T(1) = T(1/3) + T(2/3) + 1

既然T（n）表示运行时函数，那么任何不会被处理的输入的运行时总是0 ，这包括基本情况下的所有项，所以我们有：

T(X < 1) = 0
T(1/3) = 0
T(2/3) = 0

T(1) = T(1/3) + T(2/3) + 1^2
T(1) = 0 + 0 + 1
T(1) = 1

然后我们可以替换值：

T(n) = n T(1) + [ (9/5)(n^2)( (5/9)^(log n) ) ]

T(n) = n + ( 9/5 n^2 (5/9)^(log n) )

T(n) = n^2 (9/5)^(1-log(n)) + n

对于渐近上界，我们可以近似(9/5)^(1-log(n))到9/5 ，因为(9/5)^(1-log(n)) <= 9/5 ：

T(n) ~ 9/5 n^2 + n

O(T(n)) = O(n^2)