给定一组边和一个无向图，我如何选择最好的边添加到图中以最小化最短路径？

Question

我在想的是，对于我可以从中挑选的一组边中的每条边，构建一个插入该边的图形副本，然后运行 Dijkstra's。 最好的边缘最终将来自总权重最低的图表。

但这似乎效率低下。 我必须为集合中的每一条边都调用 Dijkstra。 有一个更好的方法吗？

Answer 1

肮脏的伎俩：

在修改后的图形上运行 Djikstra。 该图将包括原始图的所有顶点和边。 两次。
对于每个顶点 i，创建一个顶点 i'。 如果存在边 (u,v)，则创建边 (u',v')。 因此，除了 's 之外，我们有两个看起来相同的图表。
现在魔术来了：

• 对于每个快捷方式 x, y 创建一条边 (x, y')。
• 合并目标和目标'

在此图上运行 Djikstra 将为您提供最短路径，包括快捷方式。 为什么？

• 如果快捷方式由于某些原因没有帮助，我们在原始图表中并且结果不会改变。
• 如果我们决定使用快捷方式，我们会卡在复制的图表中，我们不能 go 回来 - 因此我们只能使用一个快捷方式。 由于目标是我们合并后唯一的“奇异”节点，因此我们仍然可以到达它。

因此，如果 Djikstra 在这个修改后的图中找到了一条路径，我们就有了新的最短路径，它将快捷方式带入帐户。

由此产生的复杂性由 Djikstra 给出，并且由于我们只在混合中添加了 E + len(shortcuts) 边缘，因此与原始 Djikstra 相比，O-notation 没有任何改变。