如何在无向图中查找反馈边集

Question

设G =（V，E）为无向图。 如果G的每个循环在F中具有至少一个边，则将边的集合 F⊆E称为反馈边集。

（a）假设G未加权。 设计一种有效的算法来查找最小尺寸的反馈边集。

（b）假设G是具有正边权重的加权无向图。 设计一种有效的算法来找到最小权重反馈边集。

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我的解决方案（需要建议）：

a） 最小尺寸反馈边集：由于图是未加权的，我们可以使用DFS。 我们像往常一样从任何顶点开始DFS。 当我们遇到后边缘时，我们将其插入一组反馈边缘。 当DFS完成时，该集将是答案。

b） 最小权重反馈边集：由于图是加权的，我们可以使用Kruskal。 但Kruskal通常以最小重量的边缘开始。 如果我们可以否定所有边权重，然后运行Kruskal，每当我们在相同组件的顶点之间获得边缘时，我们可以将其保存在反馈边集中。 最后，否定边权重。 我建议否定边权重的原因是因为我们需要最小权重反馈集。 对于负重，Kruskal将从具有最小重量（实际上最大）的边缘开始，并且将发现具有较小重量的相同组件的边缘。

有人能说出这个解决方案是否正确吗？

Answer 1

是的，您的解决方案是正确的。 最小权重反馈边缘集的无向图是最大权重跨越森林的补充。 所有跨越森林都具有相同的基数，因此在未加权的情况下，任何跨越森林（由DFS找到）都可以。 （证明草图：拟阵。）

反馈弧设置确实是NP难的，但这是无向的情况。

Answer 2

要在具有正权重的加权有向图中查找最小权重反馈边集：

通过否定权重，观察它相当于找到最大权重反馈边集。 要查找最大权重反馈边集，请使用Prim或Kruskal算法构建MST。 然后采取该MST的补充。

它为什么有效？ 这是基于以下观察：

当且仅当存在一个循环时，该边缘不在任何MST中，该循环的边缘在该循环中的所有其他边缘上具有最大权重。 或者，换句话说，边缘在某些MST中，当且仅当对于该边缘所属的每个周期时，它不是该周期中所有其他边缘的最大权重。

实际上，假设我们具有边缘的最大权重反馈边缘集合，使得存在包括该边缘的循环和具有更大权重的另一边缘，然后用该另一边缘替换该边缘将提供更大权重的反馈边缘集合。

为了完整性，观察证明 ：

<=）假设边在一个周期中具有最大权重。 如果它在某个MST中，那么用该循环中的另一个边缘替换该边缘将提供具有较小权重的MST。

=>）假设对于给定边缘所属的每个周期，在该周期中存在具有更大权重的边缘。 如果它不在任何MST中，则将该边缘添加到MST将导致MST中的循环。 然后从该循环中移​​除最大重量的边缘（其与给定边缘不同）将提供具有较小重量的MST（并且包括该给定边缘）。

Answer 3

这两个问题都是NP完全的。 因此，即使是近似有效（多项式时间）解决方案也不太可能存在（http://en.wikipedia.org/wiki/Feedback_arc_set）。

如果您可以放宽对应用程序中严格的最小解决方案大小的要求，则可以使用其他启发式方法，但它们可能难以相互比较。

请注意，您可以轻松找到最小（非最小）解决方案：以任何顺序遍历任何反馈边缘集的边缘，如果是冗余，则立即删除。 对所有边缘进行一次扫描就足够了，并使用例如DFS执行冗余测试。

Answer 4

对于任何反馈边缘，此图的补充必须是原始图的生成林。 这就是说补码图不包含任何循环，这是非常明显的。

问题a）：
对于最小大小的反馈边集，这相当于找到跨越森林的最大大小。 因此，我们可以简单地使用DFS来查找图的每个连接组件的生成树并获取补充。 然后我们得到最小尺寸反馈边缘。 实际上，我认为DFS不是必需的，只要我们能够为每个连接的组件找到生成树。
问题b）：
要找到最小的权重反馈边集，这相当于找到跨越森林的最大权重。 然后我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来查找每个连接组件的最大生成树。 然后采取补充，我们将得到最小重量反馈集。

Answer 5

您的解决方案A）将无法工作，因为您没有提供任何逻辑来判断边缘是否具有“后退”属性。

您的解决方案B）将无法工作，因为Kruskal不会查找反馈集，而是查找最小加权覆盖树。 最小加权树不一定包括反馈边集的原因的一个很好的例子是K4图。