了解解决问题的动态规划方法

Question

我正在浏览 Project Euler 编码存档并遇到问题 115，内容如下：

“注意：这是第 114 题的更难版本。

一排长度为 n 个单位的行上放置了最小长度为 m 个单位的红色块，这样任何两个红色块（允许长度不同）至少被一个黑色方块隔开。

让填充计数 function, F(m, n) 表示可以填充一行的方式数。

例如，F(3, 29) = 673135 和 F(3, 30) = 1089155。

也就是说，对于 m = 3，可以看出 n = 30 是填充计数 function 首先超过一百万的最小值。

同理，对于 m = 10，可以验证 F(10, 56) = 880711 和 F(10, 57) = 1148904，因此 n = 57 是填充计数 function 首先超过的最小值一百万。

对于 m = 50，找到填充计数 function 首先超过一百万的 n 的最小值。”

使用蛮力方法（使用三个嵌套的 for 循环和中间的大量 while 循环，跨越大约 50 行代码）来解决这个问题对我来说是可以管理的。 相比之下，我使用动态编程找到了这段小代码：

m, n = 50, 168
ways = [1]*(m) + [0]*(n-m+1)
for k in range(m, n+1):
   ways[k] = ways[k-1] + sum(ways[:k-m]) + 1

ways[n]

现在这对我来说看起来很优雅，我了解代码的技术部分。 但我不明白这段代码如何解决问题。 希望在这里得到解释性帮助。

Answer 1

令ways[k]为长度为k的行所需的可能性数。 对于k = 0到k = m - 1 ，我们不能放置任何红色块，所以只有 1 种可能性：什么都不放置。 因此，我们用1初始化前m个ways的值。 从k = m开始，我们可以用第 k 个单元做三件事。 首先，我们可以将其设置为黑色。 这样做的方式总数与为k - 1分配的方式的数量相同，因为我们没有对除了我们为k - 1所做的选择之外的位置做出任何选择。 我们可以做的第二件事是为整个k长度分配一个巨大的红色块。 确实有一种方法可以做到这一点。 第三种选择是分配一个不占用整行的红色块。 假设在这个新块开始之前的黑色方块（必须总是有一个，因为我们已经介绍了块跨越整个区域的情况）具有索引i 。 我们知道i以i + m < k为界，因为该块的长度必须至少为m ，因此减去m我们有i < k - m 。 所以对于这第三种情况，我们要考虑每个有效的i （从i = 0开始，直到但不包括i = k - m ），并将所有可能的方式加起来，我们可以在i + 1处开始一个红色块，这由sum(ways[:km])计算得出。 将每个案例相加对应于实现的递归： ways[k] = ways[k-1] + sum(ways[:km]) + 1 。 对于任何n ，答案现在在于ways[n] 。 最后一点，该算法的复杂性可以通过更复杂的数据结构进一步提高，以有效地通过更新来回答前缀和查询。