给定 2D 平面中的 N 个点，确定是否有一条线将它们分成两组 N / 2 个点 + 更多规则

Question

给定二维平面上的 N 个点，确定是否有一条线将它们分成两组，每组 N / 2 个点。

还有两个规则：

• 每组点到这条线的距离之和应该是相同的。
• 线不能通过任何点。

其他（不确定是否有帮助）：我们可以假设N很大（~100k）； -2000 <= x[i], y[i] <= 2000

大家对这个问题有什么见解吗？ 我确实尝试了很多东西，但我相信我应该使用某种相等性，或者证明类似：sum(distancesSet1[i]) = sum(distancesSet2[i])。 如果你愿意，我也可以在这里发布我尝试过但失败的东西（或者我认为它失败了），但在我想看到你的建议之前。

太感谢了！

#Edit：对于这个问题，我需要知道的是准确地说给定N个点的集合是否可能。

Answer 1

更新：这是试图回答最初的、更普遍的问题，即是否可以划分分数。

由您的约束定义的问题在数学上是无法解决的。 您不能保证两组的距离总和相等。

作为证据，你只需要一个反例：

S = [[-1000,0], [0,0], [1,0], [2,0]]

只有一种可能的组合来分隔这些对：

S1 = [[-1000,0], [0,0]] 
S2 = [[1,0], [2,0]]

所有点都在线L1上。 鉴于您的子弹＃2，我们可以得出结论，将这些点分开的任何线L2将形成角度t wrt L1 。 那么距离的总和是：

sum1 = a*sin(t)   ::   1000 < a < 1002  
sum2 = b*sin(t)   ::      1 < b < 3

   t != 0
sum1 > sum2

QED