查找该算法的时间复杂度

Question

我试图找到这个算法的时间复杂度，我尝试使用T(n)计算它，假设T(n) = 2T(n-1) + Const并得到O(n)结果。

bool sum(int arr[], int x, int n, int index){
    if(x == 0 && index == 3)
        return true;
    if(n == 0)
        return false;
    if (index == 3)
        return false;

    if(sum(arr+1, x-arr[0], n-1, index + 1))
        return true;
    return sum(arr+1, x, n-1, index);
}

顶部调用以 index = 0 开始。基本上我想看看是否有一个三元组总和为给定值 x。

我错过了什么吗？

Answer 1

首先， T(n) = 2T(n-1) + Const会使 T(n) 为 O(2^n)，而不是 O(n)。 如果您没有index == 3停止条件，这将是运行时。 但是这种停止条件会显着降低运行时间。

找到时间复杂度的一种方法是计算递归树中叶子的数量（即达到停止条件的次数）。 每个index == 3叶子对应于 n 个元素中的 3 个选择，因此有 C(n, 3) 个这样的节点。 n == 0且index < 3叶子对应于 0、1 或 2 个元素的选择，即 C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2)。 因此叶子的总数是 O(n^3)。

由于内部节点（未达到停止条件并因此进行递归调用的调用）的数量大约等于叶子的数量，并且每次调用都执行 O(1) 工作，不包括递归调用，因此总运行时间为 O (n^3)。

获得相同结果的另一种方法是考虑T(n, index) ：

T(n, 3) = C = O(1)
T(n, 2) = T(n-1, 3) + T(n-1, 2) + C = O(n)
T(n, 1) = T(n-1, 2) + T(n-1, 1) + C = O(n^2)
T(n, 0) = T(n-1, 1) + T(n-1, 0) + C = O(n^3)

Answer 2

鉴于假设顶级调用是使用index == 0 （来自评论）进行的，算法是 O(n ³ )。 忽略实现的细节，更抽象地考虑它在做什么：

• 它对数组arr执行线性扫描，其中
  • 对于每个元素e ，它在e之后开始对arr的尾部执行线性扫描，其中
    • 对于每个元素f ，它在f之后开始对arr的尾部执行线性扫描，其中
      • 对于每个元素g ，它检查是否e + f + g == x

边界情况是没有三元组元素和x ，在这种情况下，直到所有扫描完成，过程才会结束。 从该描述中可以清楚地看出，递归等效于三重嵌套循环。