Haskell Monad 定律是如何从 Monoid 定律推导出来的？

Question

内函子范畴中幺半群的定律是：

Haskell monad 法则是：

左身份： return a >>= k = ka

正确的身份： m >>= return = m

结合性： m >>= (\\x -> kx >>= h) = (m >>= k) >>= h

我假设后者是从前者派生的，但怎么会呢？ 图表基本上说

join (join x) = join (fmap join x)
join (return x) = x
join (fmap return x) = x

这些如何等同于 Haskell monad 定律？

Answer 1

为了从join -monad 定律中显示>>= -monad 定律，需要根据乘法 ( join )、统一性 ( return ) 和函式 ( fmap ) 定义x >>= y ，所以我们需要让，根据定义，

(x >>= y) = join (fmap y x)

左身份法

左恒等式则变为

return a >>= k = k a

根据>>=定义，它等价于

join (fmap k (return a)) = k a

现在， return是一个自然变换I -> T （其中I是恒等函子），所以fmap_T k . return = return . fmap_I k = return . k fmap_T k . return = return . fmap_I k = return . k fmap_T k . return = return . fmap_I k = return . k 。 我们将法律简化为：

join (return (k a)) = k a

这遵循join法。

正确身份法

正确的身份法

m >>= return = m

根据>>=的定义， >>= ：

join (fmap return m) = m

这正是join法之一。

我将把结合律留给你证明。 它应该遵循使用相同的工具（ join法则、自然性、功能性）。

Answer 2

用 Kleisli 组合运算符(>=>)表述monad 定律。

假设k :: a -> mb , k' :: b -> mc , k'' :: c -> md （即k , k' , k''是 Kleisli 箭头）

• 左身份： return >=> k = k
• 正确的身份： k >=> return = k
• 结合性： (k >=> k') >=> k'' = k >=> (k' >=> k'')

从(>=>)的定义中可以相对简单地表明这些与您编写的内容相同。 而且您不需要任何花哨的图表或任何东西：这些实际上就是幺半群定律，以return作为身份， (>=>)作为您的幺半群运算。

您在图片中显示的图表是对 monad 的另一种思考方式。 您可以根据自然转换（即join和return ）或组合（即return和(>>=) / (>=>) ）等价地定义 monad。 后一种方法适用于您正在寻找的幺半群思维方式。