两个命题之间的相等性 nat -> nat

Question

我目前正在 coq 的一个项目中工作，我需要使用nat -> nat列表。 所以基本上我会有一个定义，它接受一个list (nat -> nat)和一个命题f: nat -> nat作为参数，目标是检索给定列表中f的索引。

我所做的是我实现了一个通过列表的固定点，并将每个元素与f与相等=进行比较。 但是我发现这是不正确的，并且此类类型的相等性是无法确定的。

有谁知道解决这个问题的替代方法？ 或者更简单的方法来检索列表中f的索引？

Answer 1

我不确定您为什么将f: nat -> nat称为命题而不是 function 但无论如何，除非您对l的内容有更多假设，否则我认为您的问题没有解决方案。

正如您所指出的，功能的平等通常是不可判定的。 您只能对它们执行有限数量的观察（例如调用f 0并检查结果）。 如果您知道您的功能足够不同，那么检查它们是否同意一些（精心选择的）特定值可能就足够了，否则我看不到出路。

也许是您过度简化了手头的问题/任务，而您遇到的真正问题确实有解决方案。 目前，该问题与 Coq 无关。

Answer 2

作为记录，如果一般问题无法确定（正如 Théo 解释的那样），您似乎不太可能真的想要/需要这个。 但是，为了回答这个问题：

如果您确定您的输入列表恰好出现了一次您正在寻找的 function f （其中函数由它们的逐点相等标识），那么列表中的所有其他函数在某些时候与f不一致。 换句话说，对于每个其他函数，都存在一个k: nat使得gk ≠ fk 。

由于nat是可枚举的，integer 比较是可判定的，并且列表是有限的，因此有一个终止算法来解决这个问题。 在命令式伪代码中：

input: a function f : nat → nat
input: a list of functions [ g[0] ; g[1] ; … ; g[n−1] ] : list (nat → nat)
start:
  is_candidate := [ true ; true ; … ; true ] (array of length n)
  candidate_count := n
  k := 0
  while true do:
    if candidate_count < 2 then:
      return the only index i such that is_candidate[i] == true
    for all i in [0; n) do:
      if is_candidate[i] == true and f k ≠ g[i] k then:
        is_candidate[i] := false
        candidate_count := candidate_count − 1
    k := k+1
end

如果列表中有多次出现f ，则算法永远不会终止（这些出现永远是候选者）。 如果出现 0 次或 1 次，则算法终止，但无法确定剩余候选者是否完全等于f 。

因此，上述假设对于终止和纠正是必要的。 这在 Coq 中可能不容易实现，尤其是因为您必须说服 Coq 终止。 祝你好运，如果这真的是你想要的。 ;-)