兩個命題之間的相等性 nat -> nat

Question

我目前正在 coq 的一個項目中工作，我需要使用nat -> nat列表。 所以基本上我會有一個定義，它接受一個list (nat -> nat)和一個命題f: nat -> nat作為參數，目標是檢索給定列表中f的索引。

我所做的是我實現了一個通過列表的固定點，並將每個元素與f與相等=進行比較。 但是我發現這是不正確的，並且此類類型的相等性是無法確定的。

有誰知道解決這個問題的替代方法？ 或者更簡單的方法來檢索列表中f的索引？

Answer 1

我不確定您為什么將f: nat -> nat稱為命題而不是 function 但無論如何，除非您對l的內容有更多假設，否則我認為您的問題沒有解決方案。

正如您所指出的，功能的平等通常是不可判定的。 您只能對它們執行有限數量的觀察（例如調用f 0並檢查結果）。 如果您知道您的功能足夠不同，那么檢查它們是否同意一些（精心選擇的）特定值可能就足夠了，否則我看不到出路。

也許是您過度簡化了手頭的問題/任務，而您遇到的真正問題確實有解決方案。 目前，該問題與 Coq 無關。

Answer 2

作為記錄，如果一般問題無法確定（正如 Théo 解釋的那樣），您似乎不太可能真的想要/需要這個。 但是，為了回答這個問題：

如果您確定您的輸入列表恰好出現了一次您正在尋找的 function f （其中函數由它們的逐點相等標識），那么列表中的所有其他函數在某些時候與f不一致。 換句話說，對於每個其他函數，都存在一個k: nat使得gk ≠ fk 。

由於nat是可枚舉的，integer 比較是可判定的，並且列表是有限的，因此有一個終止算法來解決這個問題。 在命令式偽代碼中：

input: a function f : nat → nat
input: a list of functions [ g[0] ; g[1] ; … ; g[n−1] ] : list (nat → nat)
start:
  is_candidate := [ true ; true ; … ; true ] (array of length n)
  candidate_count := n
  k := 0
  while true do:
    if candidate_count < 2 then:
      return the only index i such that is_candidate[i] == true
    for all i in [0; n) do:
      if is_candidate[i] == true and f k ≠ g[i] k then:
        is_candidate[i] := false
        candidate_count := candidate_count − 1
    k := k+1
end

如果列表中有多次出現f ，則算法永遠不會終止（這些出現永遠是候選者）。 如果出現 0 次或 1 次，則算法終止，但無法確定剩余候選者是否完全等於f 。

因此，上述假設對於終止和糾正是必要的。 這在 Coq 中可能不容易實現，尤其是因為您必須說服 Coq 終止。 祝你好運，如果這真的是你想要的。 ;-)