Coq中的列表nat的子集

Question

我為coq中的nat_list的所有子集定義了一個遞歸函數，如下所示：

Fixpoint subsets (a: list nat) : (list (list nat)) :=
 match a with
  |[] => [[]]
  |h::t => subsets t ++ map (app [h]) (subsets t)
end.

我試圖證明

forall (a:list nat), In [] (subsets a).

我試圖上一個。 基本情況是直接的。 但是在歸納情況下，我嘗試使用內置定理in_app_or 。

Unable to unify "In ?M1396 ?M1394 \/ In ?M1396 ?M1395" with
"(fix In (a : list nat) (l : list (list nat)) {struct l} : Prop := 

match l with
| [] => False
| b :: m => b = a \/ In a m     
end)                                                         
[] (subsets t ++ map (fun m : list nat => h :: m) (subsets t))".

我如何證明這樣的定理或解決這樣的問題？

Answer 1

in_app_or的問題在於它具有以下類型：

forall (A : Type) (l m : list A) (a : A),
  In a (l ++ m) -> In a l \/ In a m

引理在目標上的應用是“向后的”：Coq將含義A -> B的結果B A -> B與目標匹配，如果可以統一，您將得到一個新的目標：您需要證明（更強）陳述A 而且在您的情況下， A和B的順序錯誤（交換），因此您需要應用in_or_app ：

in_or_app : forall (A : Type) (l m : list A) (a : A),
  In a l \/ In a m -> In a (l ++ m)

這就是使用in_or_app可以證明您的目標的方式：

Goal forall (a:list nat), In [] (subsets a).
  intros.
  induction a; simpl; auto.
  apply in_or_app; auto.
Qed.